模块三大招1拉格朗日中值定理(含答案解析）.pdf

大招1拉格朗日中值定理

fxfx



在高考题中有一类题是考查12斜率特点的证明或求参数的范围的问题，

xx

12

它的出题背景是高数中拉格朗日中值定理，下面将拉格朗日中值定理及其使用

进行介绍.

一．拉格朗日中值定理的定义及应用

1.拉格朗日（Lagrange）中值定理

若函数f（x）满足如下条件：

（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续；

（2）f（x）在开区间（a，b）内可导．

fbfa



则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f．



ba

2.拉格朗日中值定理的几何意义

yfx

如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲

线在该点处的切线平行于曲线两端的连线．

3.需要注意的地方（逆命题不成立）

拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线

fxx3fx

斜率等于切线斜率,如在x0处的切线斜率为0,但不存在割线使割

线斜率等于0

4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式

试卷第1页，共10页

fbfafbaab

，



fbfafababa01



，



fahfafahh01

．

abab

注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某

aabab

一常数．显然，当01时，．

二.应用拉格朗日中值定理的答题模板：

fxfx



1.小题：由12a，则f(x)a恒成立.

xx

12

2.解答题：①研究f(x)的单调性;

x，xfx，fx

②自定义12的大小,并判断的大小,去掉分母或绝对值(根据题目特

12

点);

F(x)

③构造新函数,转化为新函数的单调性或最值讨论.

【典例】【江西抚州临川一中校考】拉