人教版高三数学考点巩固10 平面向量(六大考点)2025年高考一轮复习.docxVIP

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考点巩固卷10平面向量（六大考点）

考点01：共线定理

定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然

平面向量共线定理证明

若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线.

证明:(1)由三点共线.由得

.

即，共线，故三点共线.

(2)由三点共线.

由三点共线得，共线，即存在实数使得.

故.令，则有.

1．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（????）

A．三点共线 B．三点共线

C．三点共线 D．三点共线

2．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（????）

A．1 B． C．1或 D．或

3．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（????）

A．的最小值为1 B．的最大值为

C．的最大值为12 D．的最小值为4

4．下列说法中不正确的是（????）

A．若，则，且四点构成平行四边形

B．若为非零实数，且，则与共线

C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上

D．若向量，则与的方向相同或相反

5．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为．

6．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．

(1)若，求；

(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．

（i）求的值；

（ii）设，记，求的值域．

7．设，是不共线的两个非零向量.

(1)若，，，求证：，，三点共线；

(2)若，，，且，求实数的值.

8．如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．

(1)求的正弦值；

(2)当点为中点时，求的余弦值．

(3)当取得最小值时，设，求的值．

9．设是不共线的两个非零向量．

(1)若，求证：三点共线；

(2)已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？

10．如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.

(1)当时，用，表示；

(2)求的值，并求最小值.

考点02：投影向量的求算

1、投影向量的定义

如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，

那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；

理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；

特殊地，如图，若两个向量共起点；

即：，过点作直线的垂线，垂足为，

则就是向量在向量上的投影向量；

2、投影向量的计算公式

以一点为起点，；

作：，把射线、的夹角称为向量、向量的夹角，记作：；

；

；

，又称向量垂直，记作；

（1）（2）（3）

当为锐角（如图（1））时，与方向相同，

，所以；

当为直角（如图（2））时，，所以；

当为钝角（如图（3））时，与方向相反，

所以

所以；

当时，，所以；

当时，，所以；

综上可知，对于任意的，都有；

3、数量投影的定义与求法

据图：如果令为向量的单位向量，那么

向量在向量方向上的向量投影为：；

其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影；

理解：（1）当时；实数（*）大于0；

（2）当时；实数（*）等于0；

（3）当时；实数（*）小于0；

特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；

11．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（????）

A． B． C．1 D．

12．若，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

13．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（????）

A． B． C． D．

14．已知向量，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

15．空间向量在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

16．下列关于向量的说法正确的是（???）

A．若，，则

B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为

C．若与不共线，且，则

D．若且，则

17．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为．

18．已知，．

(1)若且