专题1.10相似精讲精练-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 （原卷版）【人教版】.pdf

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题1.10相似精讲精练

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【知识梳理】

1.比例的性质

（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做

比例的内项．

（2）常用的性质有：

①内项之积等于外项之积．若b=,则ad=bc．

②合比性质．若=,则=.

−−

③分比性质．若=,则=.

④合分比性质．若=,则−=−.

⋯⋯

⑤等比性质．若==⋯=（b+d+…+n≠0），则⋯⋯=.

2.比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如

ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之

比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

3.平行线分线段成比例

（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平

行于三角形的第三边．

（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的

三边与原三角形的三边对应成比例．

4.相似图形

（1）相似图形

我们把形状相同的图形称为相似图形．

（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：

①相似图形的形状必须完全相同；

②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．

（3）相似三角形

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．

5.相似多边形的性质

（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．

（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．

（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．

（4）相似多边形的性质为：

①对应角相等；

②对应边的比相等．

6.相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时

要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；

（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

7.相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方

面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的

公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构

造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的

方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

8.相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性

质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同

一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造

“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直