数学物理方法(梁昆淼)总复习.pptVIP

一.复平面上复数的表示方法直角坐标表示法三角表示法指数表示法

及在D内处处满足C-R b:条件二 解析函数函数 在D内解析的充要条件:a: 及 在D内处处可微处处连续极坐标直角坐标

三复变函数的积分柯西 定理公式解析函数单通定理复通公式

第一类情形:沿非闭合曲线的积分a:若 不解析b:若 在闭单通区域上解析,求原函数来计算积分求路径积分

（ 在闭单通区域上解析且为该区域上的内点）第二类情形:沿闭合围道的积分（ 在闭单通区域上解析）留数定理，单极点留数定理，n阶极点柯西公式和留数定理是可以统一起来的！！

四 留数定理1.有限远点的留数次方项的系数留数2.留数定理.b1.b2.bn..全平面的留数定理:函数 在全平面上所有各点的留数之和为零

3留数的计算（注意判断奇点的类型）（1）可去奇点奇点邻域内的洛朗展开无负幂项,有限远点（2）极点单极点m阶极点如何判断极点的阶:非零有限值（3）本性奇点:将 在 的去心邻域上作洛朗展开，求－1次方的系数，或用全平面留数定理

五.洛朗展开常用初等函数的Tayler展开式

六.孤立奇点的分类:（根据孤立奇点的去心领域内洛朗级数的性质）可去奇点:内的洛朗级数不含有 的负幂项极点:内的洛朗级数仅含有有限个的负幂项M阶极点本性奇点内的洛朗级数含有无限个的负幂项不存在如何判断极点的阶

七利用留数定理计算实变定积分□第一类:□第二类:特点:被积函数的积分区间（,）, 在实轴上无奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的。当 在上半平面 和实轴上 时, 一致地

第三类:被积函数的积分区间[ ,],偶函数和奇函数在实轴上没有奇点,在上半平面除有限个奇点外是解析的；当 在上半平面或实轴上 时, 和一致地趋于零

八 奇函数和偶函数的傅立叶级数奇函数只有正弦项偶函数只有余弦项

九函数1挑选性2 函数的傅立叶积分

十.数学物理定解问题A.几个重要的泛定方程1.弦的横振动方程和杆的纵振动方程(自由振动)弦的横振动方程和杆的纵振动方程(受迫振动)√每单位长度的弦所受的横向力√每单位长度单位横截面积的杆所受的纵向外力

2.一维的无源扩散方程和热传导方程（输运方程）一维的有源热传导方程单位时间在单位长度上产生的热量

3静电场方程有源:泊松方程无源:拉普拉斯方程

B定解条件初始条件:热传导方程－－1个初始条件 波动方程－－2个初始条件边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件

第二类边界条件:例1 作纵振动的杆若为自由振动例2细杆导热问题流出流入

达朗贝尔公式适用的问题1无界区间内的自由振动问题齐次的泛定方程

半无界区间内的自由振动问题一齐2奇延拓

3偶延拓二齐半无界区间内的自由振动问题

十一分离变数法有界区间I 第一类问题:齐次的泛定方程边界条件为“一齐”边界条件为“二齐”边界条件为“混齐”4 极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件II 第二类问题:非齐次的泛定方程II 第三类问题:非齐次的边界条件

I 第一类问题:齐次的泛定方程1.边界条件为“一齐”本征值本征函数

a.波动问题通解系数

b.输运问题通解系数

2.边界条件为“二齐”本征值本征函数

a.波动问题通解系数

b.输运问题通解系数

3.边界条件为“混齐”本征值本征函数1＋22＋1

a.波动问题1＋2 或 2＋11＋22＋11＋22＋11＋22＋1

b.输运问题1＋22＋11＋2 或 2＋1通解系数1＋22＋1

4极坐标系中拉普拉斯方程带有周期性边界条件本征值本征函数通解

I 第二类问题:非齐次的泛定方程方法一:傅立叶级数法方法二:冲量定理法

冲量定理法适用的定解问题初始条件必须为0非齐次的输运方程也适用（齐次边界条件和初始条件为0）波动方程齐次边界条件

解题模式1转化2求 的解3原问题的解

阶勒让德多项式A:表达式查表不超过的最大整数记忆:十二.球函数

B:勒让德多项式的微分表示和积分表示微分表示积分表示

C:勒让德多项式的正交关系D:勒让德多项式的模

上的函数展E: 以勒让德多项式为基,将开为广义傅立叶级数系数

勒让德多项式的应用拉普拉斯方程的轴对称定解问题边界条件与 无关通解例:在均匀电场中放入导体球或介质球（作业题和例题）

F:勒让德多项式的母函数例:在点电荷的电场中放入导体球或介质球（例题）

阶连带勒让德函数A:表达式记忆:

B:连带勒让德函数的微分表示和积分表示微分表示积分表示

C:连带勒让德函数的模（1）

4一般的球函数A:表达式（1）:两个线性独立的解，可以取其中任何一个（2）复数形式的球函数可以取负值(个）

B :球函数的模（1）（2）复数形式球函数的模

连带勒让德函数的应用拉普拉斯方程的