2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年湖南省长沙市周南中学高三（上）第二次段考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z满足z=1?i3?i，则|z|=(????)

A.210 B.15 C.

2.“x=1”是“x2?1=0”的(????)

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.既非充分也非必要条件 D.充分不必要条件

3.已知向量a，b满足|a|=2，(4a+b

A.25 B.26 C.

4.水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是x?1，S12，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是x?2

A.x?1x?2 B.x

5.直线ax+y?1=0被圆(x?1)2+(y?4)2=4所截得的弦长为

A.?43 B.?34 C.

6.将函数f(x)=sin(x+π4)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)

A.x=π4 B.x=3π8 C.

7.一个高为3的直三棱柱容器内装有水，将侧面ABB1A1水平放置如图(1)，水面恰好经过棱AC，BC，A1C1，B1

A.54 B.32 C.94

8.给定函数f(x)=xx(x0)，g(x)=xlnx+a，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记作M(x)=max{f(x),g(x)}，若M(x)=f(x)，则实数a的最大值为

A.1e B.1 C.e D.

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(????)

A.sinA：sinB：sinC=a：b：c

B.sin(A+B)=sinC

C.若a2+b2c2，则△ABC

10.已知抛物线C：x2=2py(p0)上的动点M到焦点F的距离最小值是2，经过点P(2,?3)的直线l与C有且仅有一个公共点，直线PF与C交于两点A，B，则(????)

A.p=2 B.抛物线C的准线方程为y=?2

C.|AB|=58 D.满足条件的直线l有2条

11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域为R，若f(x+1)与f′(x)均为偶函数，且f(?1)+f(1)=2，则下列结论正确的是(????)

A.f′(1)=0 B.4是f′(x)的一个周期

C.f(2024)=0 D.f(x)的图象关于点(2,1)对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在数列{an}中，a1=2，an+1=a

13.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛(即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛)，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为13，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．

14.已知sin(α+7π2)=?17，cos(α+β)=?11

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且a=7，c=1,A=2π3．

(1)求b及△ABC的面积S；

(2)若D为BC边上一点，且∠CAD=

16.(本小题12分)

如图，多面体ABCDE中，直角梯形ABCD所在平面与正三角形ABE所在平面垂直，∠ADC=90°，AB=AD=2CD=4．

(1)求该多面体的体积V；

(2)在棱BC上是否存在点P，使得直线PE和平面ADE所成的角大小为30°？若存在，求出BPBC的值；若不存在，请说明理由．

17.(本小题12分)

已知函数f(x)=2x2+x?ln(x+m)，m∈R．

(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当

18.(本小题12分)

某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%．

(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为80%，求p的值．

19.(本小题12分)

如图，双