模块一大招3地位等价法(含答案解析）.docx

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大招3??地位等价法

处理形如“已知正数满足，求的最小值_________.”我们发现a与b的地位等价，(x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变)，我们一般作如下操作：

第一步：取等条件x=y；

第二步：；

第三步：求得.

【典例1】，，，则xy最小为______．

【大招指引】x与y的次数相同，系数也相同.交换x与y后题目不发生改变．

解析：在xy中令，将其替换至原式中，得，与原式对称相等

将代入得得

∴

【题后反思】若对于非负实数实数a，b满足a+b=2，求ab的最小值.

分析:因为a与b在题目中地位是等价的故令a=b，则a=b=1，所以ab=1.经检验，错了.

虽然有些题目不灵，但是在考试中极少，大约占5%.

【温馨提醒】

不是所有的有关不等式的题目都能用地位等价法，因为有些变量在题目中的地位压根不等价;不是所有的题目用地位等价法都是对的，当你没有其他思路时可以运用.

【举一反三】

1．已知，求的取值范围．

2．对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为．

3．若正实数满足，则的最小值为

A．2 B．1 C． D．2

【2023贵州毕节三诊】

4．若实数a，b满足，则（????）

A． B． C． D．

【2023江西南昌稳派二模】

5．已知，，，则的最小值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．12

【2023华大新高考联盟4月测评】

6．已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．20 B．40 C． D．

7．若实数，满足，，则实数的最小值为

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参考答案：

1．

【分析】令，利用圆心到直线距离小于等于半径可解.

【详解】将化为，表示以为圆心，为半径的圆，

令，即，

由题可知，直线和圆有公共点，所以，即，解得.

即的取值范围为.

故答案为：

2．－1.

【分析】首先把转化为，再由柯西不等式得到，分别用表示，代入到中得到关于的二次函数，求出最小值即可

【详解】解：，

，

故当最大时，有，，

，

当，取得最小值.

故答案为：.

【点睛】考查柯西不等式的应用以及二次函数求最值，属于难题.

3．D

【详解】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可．

详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2，

∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数，

∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=22，

当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号．

故选D.

点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．

4．B

【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.

【详解】，由，得，

于是，整理得，当且仅当时取等号，

解得，A错误，B正确；

又，即，当且仅当时取等号，CD错误.

故选：B

5．B

【分析】条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.

【详解】因为，所以，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为6.

故选：B.

6．C

【分析】由两次应用基本不等式即可求解.

【详解】，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

7．

【分析】先由题意，根据基本不等式，得到，得出，再由，得到，根据得，令，根据题意得到，由函数单调性，得到的最值，进而可求出结果.

【详解】因为，，所以，即，当且仅当时，取等号；因此，

又，所以，即，

由得，所以，

令，因为，当且仅当时取等号.

所以，

又易知函数在上单调递增，

因此，

因此.

即实数的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.