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微分几何课程教学大纲

课程英文名称：DifferentialGeometry

课程编号：050756课程类型：专业限选课总

学时：64学分：3

适用对象：数学与应用数学理科基地班周学时：4

开设学期：第七学期开课单位：数学与系统科学学院先

修课程：解析几何、高等代数、数学分析、微分方程编写依据：2017年版本科培养方案使用

教材及参考书编写时间：2002年7月

教材：《微分几何》，彭家贵，陈卿编著，高等教育出版社，2002年参考

书：《微分几何》，陈维桓编著，北京大学出版社，2006年

《微分几何》，北京师范大学梅向明、黄敬之编，高等教育出版社，1988年第二版。

《微分几何讲义》，吴大任，人民教育出版社，1982。

《微分几何》，苏步表、胡和生等，高等教育出版社，1983。

《整体微分几何初步》，沈一兵，杭州大学出版社，1998。

《微分几何讲义》，陈省身、陈维桓，北京大学出版社，1983。

一、课程教学目的和任务

微分几何是高等师范院校数学系数学本科专业的一门主要课程，是数学专业的必修课，是

通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，是线性代数、数学分析、微分方程、高等几何等

学科的知识的综合运用。微分几何课的目的是使学生能从较浅显的内容去学习近代的几何处理

方法，通过分析中的一些运算去研究几何有关问题，从而培养学生的几何直观和图形想象的能

力、从具体到抽象的能力。

二、课程教学基本要求

1、在保证该课程教学的科学性和系统性的前提下，着重突出微分的特性。有关本课程的基本概念、

基本知识和基本技能，作为教学的重点内容，要求学生牢固掌握并熟练运用。

2、坚持理论密切联系实际，讲授时，尽可能借建筑物一些典型实例，深入浅出地阐明其基本思想，

旨在拓开学生的思路，并积极引导学生将主要精力放在掌握曲线、曲面的基本性质。

3、课堂讲授实行启发式，力求做到少而精，并注意将培养和提高学生的分析问题和解决问题的能力

放在重要位置。

4、坚持课后练习是教好、学好本门课程的关键。在整个教学过程中，将根据正常教学进度布置一定

量的课后作业，要求学生按时完成。

三、课程教学重点和难点

重点：曲线的Frenet标架和Frenet公式；曲面的第一基本形式、第二基本形式；活动标架。

难点：曲线论基本定理的证明方法；曲面的曲率和参数网；活动标架的理解和应用。

四、课程教学内容

第一章欧式空间

[教学目的]

通过本章教学，使学生明确微分几何学科性质、基本内容和学习意义，掌握微分几何中常

用术语的涵义及其相互区别，了解本门课程的教学要求和学习方法。

[教学要求]

要求学生掌握标架、向量函数的概念，以及常用的公式与性质定理。

[重点难点]

重点是标架。

[教学内容]

第一节向量空间第

二节欧式空间

第二章曲线的局部理论

[教学目的]

通过本章教学，使学生学习曲线的特性及研究方法。

[教学要求]

了解曲线的参数化，正则曲线，弧长的概念。会熟练地计算曲线的曲率、挠率。掌握运用

Frenet标架和Frenet公式研究空间（或平面）曲线的几何性质的基本方法。了解曲线论基本

定理的内容和证明方法。

[重点难点]

重点在Frenet标架和Frenet公式，难点是曲线论基本定理的证明方法。

[教学内容]

第一节曲线的概念第

二节平面曲线第三

节E^3的曲线

第四节曲线论基本定理第

三章曲面的局部理论

[教学目的]

通过本章教学，使学生学习曲面的例子、性质、特性及研究方法。

[教学要求]

掌握参数曲面、正则曲面、切平面、法线和切向量的概念。能熟练计算曲面的第一基本形

式，第一类基本量、第二基本形式，第二类基本量、主曲率，确定对应的主方向。了解参数曲

线网、正交曲线网、渐近方向、主方向、主曲率和欧拉公式的概念。掌握可展曲面的定义、分

类定理、法曲率、高斯映射和Weingarten变换。了解特殊曲面。

[重点难点]