模块一大招1容斥原理(含答案解析）.docx

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大招1??容斥原理

1．集合中元素个数的表示

我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数．

2．二元容斥原理及其内涵

①二元容斥原理：对于集合，来说，有

．

②二元容斥原理的内涵：首先画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了一次集合中元素的个数，因此需要减掉一次．

因此得到二元容斥原理．

3．三元容斥原理及其内涵

①三元容斥原理：对于集合，，来说，有

．

②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出韦恩图，由韦恩图可以发现与相比，多算了集合，，两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉，，中元素的个数．但是在减掉，，中元素的个数的过程中，我们把的区域减了3次，而将的区域只计算了3次，于是需要再把加上1次．

因此得到三元容斥原理

．

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．例如“在学校文化节前夕某班需要编排一个团体节目，若班里会唱歌的人数为21，会跳舞的人数为18，既会唱歌又会跳舞的人数为6，假定参加团体节目的同学都是在唱歌、跳舞中至少会一种，那么该团体节目最多能安排多少人?”

此时如果令集合，，那么问题就转化成在已知集合，，中的元素个数情况下，去求中的元素个数．像这种研究若干集合、集合的交集、集合的并集的元素个数之间的关系，正是容斥原理的应用范畴．

容斥原理实质上就是一种计数方法，在计数时我们先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，最终使得计算结果既无遗漏又无重复．

【典例】

1．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为．

（2020新高考Ⅰ卷）

2．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（????）

A．62% B．56%

C．46% D．42%

3．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（????）

A．8 B．7 C．6 D．5

4．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人．

5．“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（????）

A．0.1 B．0.2

C．0.3 D．0.4

6．某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为．

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参考答案：

1．20

【分析】由三元容斥原理求解即可.

【详解】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，

是会打蓝球的教师，

根据题意得，，，，，

再使用三元容斥原理得：

，

有，

而中把的区域计算了3次，

于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.

因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.

故答案为：20.

2．C

【分析】由容斥原理即可得解..

【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

3．C

【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，根据A．B．C．，且，，可得．

【详解