模块三大招31泰勒展开式（解题大招）(含答案解析）.docx

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大招31????泰勒展开式

1．泰勒中值定理

如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则当在内且时，可以表示为的一个次多项式与一个余项之和：

，

其中，介于和之间，上式即为函数在点处的阶泰勒展开式．

2．泰勒公式时的麦克劳林公式

当时，，由此我们可以推得常见的公式：

（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

（5）．

特别地，当时，有．

（6）．

3．几个重要的不等式

由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：

（1）（2）

（3），??．（4），．

（5），．（6）????

（7）

【典例1】（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式

由此可以判断下列各式正确的是（????）

A．（i是虚数单位）????B．（i是虚数单位）

C．????D．

【大招指引】对于选项A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确；对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立；对于D，由，证明

即可．

【解析】对于A、B，由，

两边求导得，

，

，

又，

，

，故A正确，B错误；

对于C，已知，则．

因为，则，

即成立，故C正确；

对于D，，，

，

当，；；；

，，

所以，所以成立，故D正确．

故选：ACD．

【题后反思】将等价变形为，是处理选项C的关键，进而代入关于的泰勒展开式进行验证是否成立．

【温馨提醒】应用泰勒公式时要选好，有时可能需要结合题目给出信息进行相关变形，再代入验证，利用展开项的特征进行适当的放缩，证明不等式成立．

1．计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．

其中是的导数，是的导数，是的导数……．

取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为，精确到0.01的近似值为．

【典例2】设，，则（????）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】观察题干条件，中的指数接近，可化为，故可用泰勒展开式来近似计算它们，再比较大小．

【解析】因为，，所以，．

又，所以．故选C．

【题后反思】本题也可以按以下常规解法（构造函数，利用单调性比较大小）进行求解：

因为，当且仅当时，有，

从而当时，，于是，．

设函数，则．

当时，，所以，在上单调递增，有，即，

所以．故正确选项为C．

【温馨提醒】在利用泰勒展开式比较指数式、对数式的大小时，要注意合理选择有关公式和取舍项，以达到放缩的作用．

2．已知，则（???）

A． B． C． D．

【典例3】曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（????）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】先求出两部分函数在1处的泰勒展开式，再利用切线原理进行求解．

【解析】在1处的泰勒展开式是在1处的泰勒展开式是，由切线原理得

切线为，故，故选

【题后反思】本题也可以利用常规方法进行求解：

求导得，故曲线在点处的切线料率，该切线与直线平行，而直线的針率，得，即，故选

【温馨提醒】若在点的切线为，我们可以考虑用泰勒展开式来验证左右两侧与切线关系，即切线是在的上方还是下方，为了方便理解，我们统一平移得到和直线，构造函数，将进行泰勒展开，一定会出现的一次项为零，常数项为零，剩余部分的最低阶无穷小的正负号决定此函数是在切线上方还是下方．

3．若曲线在点处的切线方程为，则的值为（????）

A． B． C． D．

【典例4】已知是函数的极大值点，则的取值范围是（????）

A．???????B．????????????C．???????D．

【大招指引】先求出函数在零处的泰勒展开式，再利用是的一个极大值点得到二次项系数必须小于零进行求解．

【解析】由秘籍知在零处的泰勒展开为

即，

因为是的一个极大值点，所以二次项系数必须小于零，

即，在处（带有佩亚诺余项）的泰勒展开式为

，一般应用前两项即可．当时，

也满足最低偶次项即系数小于零，所以故答案为故选．

【题后反思】本题也可以类比对数单身狗+泰勒展开式进行求解：

是函数的极大值点等价于是函数的极大值点，由秘藉在的泰勒展开为，化简得，因为是的一个极大值点，所以二次项系数必须小于零，即，当时，也满足最低偶次项即系数小于零，所以故答案为

【温馨提醒】对于任意一个能用泰勒公式在处展开的函数：

，我们可以将其写成

这种近似的形式：当取得极大值时，一定会出现最低偶次项系数为负，即或者以此类推当取得极小值时，一定会出现最低偶次项系数为正，即或者以此类推；

综上，一个无限函数在最低阶无穷