模块三大招15恒成立求参——端点中间点效应(含答案解析）.docx

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大招15恒成立求参——端点中间点效应

1．端点效应

①如果函数满足，，且，则存在，使得，恒成立，即．

因为如果不满足“，”，则有“，”，就会与已知矛盾．于是，就出现上面的结论．以此为基础，也可以推出下面的各个结论．

②如果函数满足，，且，则存在，使得，恒成立，即．

③如果函数满足，，且，则存在，使得，恒成立，即．

④如果函数满足，，且，则存在，使得，恒成立，即．

2．中间点效应

①如果函数满足，，且，其中，则存在，使得，恒成立，存在，使得，恒成立，于是就有，且（表示的导函数）．

②如果函数满足，，且，其中，则存在，使得，恒成立，存在，使得，恒成立，于是就有，且（表示的导函数）．

3．端点中间点效应在问题中的应用

（1）根据端点amp;中间点效应可以快速得到参数的取值范围．

（2）不符合端点amp;中间点效应的取值，也可以根据端点amp;中间点效应找点进行否定．

（3）需要强调的是，在解大题过程中，需要通过找点找到具体不符合题目要求的．

4．端点效应的解题思路

端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决．利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步

（1）利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件

（2）利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调

（3）若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决．若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件

【典例1】【2023年甲卷理】已知函数

（2）若恒成立，求a的取值范围．

【大招指引】令，得，且在上恒成立，画出草图

根据端点效应，需要满足，而，则，令，得，当时，由于，只需证即可．

【解析】令，得，且在上恒成立，根据端点效应，需要满足，而

则，令，得

当时，由于，下面证明，

而含有参数，故可对进行放缩

即

令，其中，设

则，令

则，故在上递减，得

则，得在上单调递增，则

即，满足成立

当时，

故存在，使得在上，

所以在上单调递增，则，不成立

特上所述：．

【题后反思】常规方法的做法如下：设

设

所以．

若，

即在上单调递减，所以．

所以当，符合题意．

若

当，所以．

．

所以，使得，即，使得．

当，即当单调递增．

所以当，不合题意．

综上，的取值范围为．

【温馨提示】本题采取了换元，注意复合函数的单调性在定义域内是减函数，若，当，对应当．

【举一反三】

【2023年甲卷文】

1．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若，求的取值范围．

2．若函数在上单调递增，则的取值范围是

A． B． C． D．

【典例2】已知函数．

（1）若函数在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）设函数，若恒成立，求的值．

【大招指引】（1）由，根据端点效应得到，于是．再证明其充分性；（2）由，根据中间点效应得到，于是．再证明其充分性．

【解析】（1）因为，所以，令，则，又当时，，则，当时，（因为，所以），所以当时，，所以函数单调递增．

①当时，，所以当时，，函数单调递增，所以当时，．

②当时，．当时，，所以，所以存在，使得，当时，，函数单调递减，则，矛盾．当时，，当时，，函数单调递减，则，矛盾．

综上所述，实数的取值范围为．

（2）因为，所以函数的定义域为．，令，则，由（1）可得，当时，，所以当时，，又当时，，，所以当时，，函数单调递增．

①当时，，因为，当时，，所以，所以存在，使得，当时，，所以，矛盾．当时，，所以当时，，则，矛盾．

②当时，，因为，所以，所以存在，使得，所以当时，，函数单调递减，所以当时，，矛盾．

③当时，，且，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，．当时，

，构建函数，，所以，函数单调递减，所以（）．

所以，恒成立．综上所述，实数的值为3．

【题后反思】利用端点效应解题的基本步骤如如下：

（1）首先由端点效应初步获得参数的取值范范围，这个范围是必要的；

（2）然后利用这个范围去判断函数是否单调；

（3）如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值．

【举一反三】

3．已知函数，.

（1）若，求在处的切线方程；

（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围