人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第6章 平面向量及其应用 6.4.1 平面几何中的向量方法.ppt

第六章平面向量及其应用

6.4.1平面几何中的向量方法;课前·基础认知;课前·基础认知;用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;?

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;?

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.?;微思考(1)证明线线平行、点共线及相似问题,可用向量的哪些知识?

提示：可用向量共线的相关知识:

已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0

(b≠0,λ∈R).

(2)证明垂直问题,可用向量的哪些知识?

提示：可用向量垂直的相关知识:

已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.;课堂·重难突破;一 利用向量证明平面几何问题

典例剖析

1.如图,在正方形ABCD中,点P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别为E,F,连接DP,EF,求证:DP⊥EF.;证明:方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0a1),;规律总结

向量的坐标运算法的四个步骤

(1)建立适当的平面直角坐标系.

(2)把相关向量坐标化.

(3)用向量的坐标运算找出相应关系.

(4)把几何问题向量化.;学以致用

在?ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上,取点F,E,使BE=DF(如图).用向量的方法证明:四边形AECF也是平行四边形.;二 平面几何中的长度问题

典例剖析

2.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.

(1)若点D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;

(2)若点E为CD的中点,连接AE并延长交BC于点F,求AF的长度(用m,n表示).;(1)证明：以点C为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).

因为点D为AB的中点,;规律总结

向量法求线段长度问题,常转化为求向量的模来解决.解题过程中用到向量的数量积及模的知识,有时利用整体代入可使问题得到简捷、明了的解决.;互动探究

1.(变问法)若本例(2)的条件不变,求AE的长度(用m,n表示).;2.(变问法)若本例(2)的条件不变,求DF的长度(用m,n表示).;三 平面几何中的夹角问题

典例剖析

3.已知矩形ABCD,AB=,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.;规律总结

利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借??夹角公式进行求解,这类问题也有两种方法,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向.;互动探究

(变问法)本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.