人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定定理.ppt

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

1.直线与平面垂直的定义

画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示?性质过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条?垂线段与点面距离过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离?

微思考1(1)直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”?提示:定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等价的,但是不能说成“无数条直线”,因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直,该直线与这个平面不一定垂直.(2)如果直线l和平面α垂直,那么直线l与平面α内的任意一条直线是什么位置关系?提示:垂直

2.直线与平面垂直的判定定理

微拓展线线垂直和线面垂直的相互转化

微思考2若把定理中的“相交”去掉,直线与平面一定垂直吗?提示:不一定,如果是平行直线,则直线与平面不一定垂直.

3.直线和平面所成的角

微思考3(1)若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角,则需具备哪些条件?提示:需要PA⊥α,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角.(2)空间几何体中,如何确定直线与平面所成的角?提示:过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置,则射影确定,直线与平面所成的角也确定.

课堂·重难突破

一直线与平面垂直的判定定理典例剖析1.如图,在三棱锥D-ABC中,已知AC⊥BC,AC⊥DC,BC=DC,E为BD的中点.求证:BD⊥平面ACE.

证明：因为AC⊥BC,AC⊥DC,BC∩DC=C,所以AC⊥平面BCD.又BD?平面BCD,所以BD⊥AC.因为BC=DC,E为BD的中点,所以BD⊥CE.又AC∩CE=C,所以BD⊥平面ACE.

规律总结1.判断或证明直线与平面垂直,常用的方法是线面垂直的判定定理,应用定理的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直.2.要证明两条直线互相垂直,可以先证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面,这是证明两条直线互相垂直的一种重要方法.

学以致用1.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD.又SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.

二直线与平面所成的角典例剖析2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成角的大小.

解：(1)如图,连接AC,∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,设A1A=1,则AC=,∴tan∠A1CA=.

(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O=A1C1=A1B,∴∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

互动探究(变问法)如图,在本例正方体中,若E为棱AB的中点,求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值.

解:如图,连接AC交BD于点O,过E作EO1∥AC交BD于点O1,易证AC⊥平面BB1D1D,∴EO1⊥平面BB1D1D,∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影,∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角.设正方体的棱长为a,∵E是AB的中点,EO1∥AC,∴O1是BO的中点,

规律总结求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,以便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所形成的直角三角形中计算.

学以致用2.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD,PC=2,求PA与平面PBC所成角的正弦值.

解