人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算.ppt

1.1.2空间向量的数量积运算;课前·基础认知;课前·基础认知;;微拓展1.当a,b=0时,a与b共线同向;当a,b=π时,a与b共线反向;反之,若a∥b,则a,b=0或π.

2.a,-b=-a,b=π-a,b,-a,-b=a,b.;2.空间向量的数量积

(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cosa,b.特别地,零向量与任意向量的数量积为0.?

(2)性质:

①a⊥b?a·b=0;?

②a·a=|a||a|cosa,a=|a|2.?;(3)运算律:

①(λa)·b=λ(a·b),λ∈R;

②a·b=b·a(交换律);

③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).;答案:A;3.空间向量的投影

(1)向量在向量上的投影向量

如图,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=___________________,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.?;(2)向量在直线上的投影向量

如图,类似于向量a向向量b投影,可以将向量a向直线l投影.;;微训练2已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为.?;课堂·重难突破;一空间向量的数量积运算;规律总结

求空间向量数量积的方法

(1)定义法:若向量的模和夹角已知或可求,可直接套用定义求解.

(2)分解法:

①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;

②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;

③代入a·b=|a||b|cosa,b求解.;学以致用

1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,计算:;二利用数量积证明空间中的垂直关系;规律总结

利用向量证明线线垂直,先将线线垂直转化为向量垂直,进而转化为向量的数量积为0,再根据已知条件,通过向量的线性运算及数量积运算,得到所求向量的数量积为0即可.;学以致用

2.正四面体OABC的棱长为2,点G是△OBC的重心,点M是线段AG的中点.;三利用数量积求向量的夹角与投影向量;规律总结

求两个非零向量夹角的

两种途径

(1)转化求角:把空间向量

夹角转化为平面几何中的

对应角,利用解三角形的知

识求解.

(2)利用向量的数量积求夹

角的余弦值,方法步骤如下:;学以致用

3.如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求:;四利用数量积求线段的长度;规律总结

用向量求线段长度的方法

(1)将要求的线段长度转化为某一向量的模.

(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量.

(3)利用,通过计算求出向量的模,进而得到所要求的线段长度.;学以致用

4.如图,在空间四边形OABC中,OA,OB,OC两两成60°角,且OA=OB=OC=2,E为OA的中点,F为BC的中点,求点E,F之间的距离.