人教A版高中同步训练数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题.ppt

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

第2课时用空间向量研究夹角问题;课前·基础认知;课前·基础认知;1.异面直线所成的角

若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,;2.直线与平面所成的角

直线与平面相交,设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则;3.平面与平面的夹角

(1)平面与平面的夹角的定义

平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.?

(2)平面与平面的夹角的求法

若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cosn1,n2|=;微判断判断.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两条异面直线所成的角就是两直线的方向向量所成的角.()

(2)直线与平面所成的角等于直线方向向量与该平面法向量所成角的余角.()

(3)两个平面夹角的大小就是两个平面法向量的夹角的大小.();4.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;

(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;

(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.;课堂·重难突破;一求异面直线所成的角;解:如图,以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,

则B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),;规律总结

利用方向向量求异面直线所成角的基本步骤:

(1)根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系;

(2)在坐标系中,写出相关各点的坐标,进而表示出相关向量的坐标;

(3)代入异面直线所成角的余弦值公式,根据夹角的余弦值,确定角的大小.;学以致用

1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成的角为60°,试确定动点E的位置.;解:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.

则A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0).;二求直线与平面所成的角;解:(1)∵四边形EDCF为矩形,∴DE⊥CD.

又平面EDCF⊥平面ABCD,且平面EDCF∩平面ABCD=CD,DE?平面EDCF,

∴ED⊥平面ABCD.

以D为原点,DA所在直线为x轴,

DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系

(如图),

则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,2),F(-1,2,2).

设平面BEF的法向量n=(x1,y1,z1),;规律总结

利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤:

?

;学以致用

2.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P-ABCDE中,F为PE的中点,平面ABF与PD,PC分别交于点G,H.

(1)求证:AB∥FG;

(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.;(1)证明:在正方形AMDE中,

因为B为AM的中点,所以AB∥DE.

又AB?平面PDE,DE?平面PDE,

所以AB∥平面PDE.

又AB?平面ABF,平面ABF∩平面PDE=FG,

所以AB∥FG.;(2)解:因为PA⊥底面ABCDE,

所以PA⊥AB,PA⊥AE.

如图,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),;三求平面与平面的夹角;解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(3,2,0),C1(0,4,2),;令x=2,则y=-3,z=6.

所以n=(2,-3,6)为平面DEC1的一个法向量.

易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),

设平面DEC1与平面ABCD的夹角为θ,;互动探究1.(变问法)若本例条件不变,求二面角D1-DE-C1的余弦值.;2.(变条件,变问法)本例中,将“E为AB的中点”改为“在线段AB上是否存在一点E,使平面DEC1与平面ABCD的夹角的余弦值为?若存在,求出AE的长;若不存在,请说明理由”.

解:假设存在点E,设AE=a(0≤a≤4).

如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线

分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐

标系,则E(3,a,0),C1(0,4,2),D(0,0,0),;又a∈[0,4],故a=3.所以在线段AB上存在点E,使平面