人教A版高中同步训练数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.2.1 第2课时 等差数列的性质.ppt

4.2.1等差数列的概念第2课时等差数列的性质

课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练

素养?目标定位

目标素养1.掌握等差数列中两项及多项之间的关系.借助等差数列通项公式的推广学习,提升数据分析素养.2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.通过等差数列性质的学习,提升数学运算素养.

知识概览

课前·基础认知

1.等差数列的图象等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,当d=0时,an是一个固定的常数;当d≠0时,an=dn+(a1-d)是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值;点(n,an)分布在以d为斜率,a1-d为截距的直线上,是这条直线上的一系列孤立的点.?

微训练1在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=.?答案:33故a14=a8+6d=15+18=33.

2.等差数列的性质(1){an}是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=ap+aq.?①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak.②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….?(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列.?

(3)若{an}是公差为d的等差数列,则①{c+an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列;?②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列;?③{an+an+k}(k为常数,k∈N*)是公差为2d的等差数列.?(4)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.?(5)若等差数列{an}的公差为d,则d0?{an}为递增数列;d0?{an}为递减数列;d=0?{an}为常数列.?

微训练2已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于()A.8 B.4 C.6 D.12答案:A解析:因为d≠0,a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=8.微诊断若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?提示:不一定.如常数列{an},1+2=3,而a1+a2=2a3.

课堂·重难突破

一等差数列性质的应用典例剖析1.(1)在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求该数列的公差及通项公式.(2)已知数列{an}是等差数列,且a1-a5+a9-a13+a17=117,求a3+a15的值.

解:(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1.(2)因为在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,所以a1+a17=a5+a13.由条件等式,得a9=117.故a3+a15=2a9=2×117=234.

规律总结1.等差数列中,若已知am,an,求ap,(1)可以直接利用等差数列的通项公式列方程组,求出首项a1和公差d后再求ap.(2)可以利用等差数列通项公式的推广公式求解,(3)若m,n,p有一定规律,则可以构造新的等差数列求解.

2.本题(2)的求解主要用到了等差数列的以下性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.对于此性质,应注意:必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.

学以致用1.(1)已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a2+a3+a4+a5等于()(2)设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于()A.0 B.37 C.100 D.-37答案:(1)B(2)C

解析:(1)由于数列{an}为等差数列,(2)设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,则等差数列{cn}的公差d=c2-c1=0.故c37=100,即a37+b37=100.

二灵活设元求解等差数列典例剖析2.(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为最后一项的6倍,求这三个数.(2)已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d(公差为d),故这三个数为4,3,2.

(2)(方法一)设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),因为四个数成递增