人教A版高中同步训练数学选择性必修第三册精品课件 第7章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差.pptVIP

7.3.2离散型随机变量的方差

课前·基础认知课堂·重难突破

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1.离散型随机变量的方差、标准差(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.

(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.在具体问题中可反映“发挥的稳定性”“投资风险的大小”等.??微思考随机变量的方差与样本方差的关系是什么?提示:随机变量的方差是总体的方差,它是一个常数,样本的方差是随机变量,是随样本的变化而变化的.对于简单随机样本,随着样本量的增加,样本的方差越来越接近于总体的方差.

2.离散型随机变量方差的线性运算性质(1)设a,b为常数,则D(aX+b)=a2D(X).?(2)D(C)=0(C为常数).3.两点分布的方差若随机变量X服从两点分布,则D(X)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p).

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一求离散型随机变量的方差、标准差典例剖析1.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为.设在前3次投篮中,乙投篮的次数为X,求X的分布列、均值和方差.

规律总结求离散型随机变量X的方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,求出期望E(X);(4)根据公式计算方差.

互动探究(变条件)将“乙投篮的次数为X”改为“甲投篮的次数为X”,求X的分布列、均值和方差.

学以致用1.2022年北京冬奥会结束后,为了继续推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X(单位:元),求X的分布列与均值E(X),方差D(X).

二离散型随机变量的方差公式及性质典例剖析2.(多选题)设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y=2X+1,则下列结果正确的有()A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4C.E(X)=1.8,D(X)=2 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2答案:AD

解析:由离散型随机变量X的分布列的性质得q=1-0.4-0.1-0.2-0.2=0.1,E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.1+3×0.2+4×0.2=2,D(X)=(0-2)2×0.1+(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.1+(3-2)2×0.2+(4-2)2×0.2=1.8,又Y满足Y=2X+1,所以E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2.

规律总结与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X).

学以致用2.已知随机变量X的分布列如表所示,D(X)表示X的方差,则D(2X+1)=.?答案:2

三方差的实际应用典例剖析3.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X,Y,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求X,Y的分布列;(2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术.

解:(1)由题意,得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以X,Y的分布列分别为X10987P0.50.30.10.1Y10987P0.30.30.20.2

(2)由(1)得,E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.由于E(X)E(Y),D(X)D(Y),说明甲射击的环数的均值比乙高,且成绩比较稳定,所以甲比乙的射击技术好.

规律总结利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离