最短路径问题 (解析).docx

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最短路径问题

1．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（）

A．6 B．8 C．10 D．16

【答案】C

【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．

【详解】解：连接，，

∵是等腰三角形，点D是边的中点，

∴，，

∴，

解得，

∵是线段的垂直平分线，

∴点C关于直线的对称点为点A，

则，

，

∴的长为的最小值，

∴周长的最小值为．

故选：C．

2．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（???）

A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6

【答案】C

【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，CD，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出CD的值即可解决问题．

【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，CD，，，，．

∴，，，，

∴，

∵，，，

∴，

∴M、C、N共线，

∵，

∵，

∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，

最小值为，

∵，

∴，

∴，

∴的最小值为．

故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．

3．如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（???）

A．4 B． C． D．16

【答案】B

【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质．

【详解】如图：

连接交于点M，

∵等腰的底边长为3，点D为边的中点，

∴，

∵是腰的垂直平分线，连接，

∴，

此时的周长为：

的长为固定，

∴根据两点之间线段最短，的周长最小．

∵，

∴，

∴，

∴．

故选：B．

4．如图，在边长为a的等边中，是上的中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意利用等边三角形性质和全等三角形判定得出，进而作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最后依据周长的最小值，求值即可得出答案．

【详解】解：如图，

∵，都是等边三角形，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴点在射线上运动，

作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴周长的最小值，

故选：B．

【点睛】本题考查轴对称最短问题和等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用轴对称性质得出的值最小．

5．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，DE上，连接，，，当的周长最小时，的度数为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长AB到点G使得，延长到点F使得，连接交、DE于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可．

【详解】解：延长AB到点G使得，延长到点F使得，

??

∵，

∴、DE垂直平分、，

连接交、DE于点、，

则，，

∴，这时的周长最小，

∵

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，，

∴，，

∴，

故选：B．

6．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【分析】本题考查了最短路线问题，角平分线的性质，垂线段最短定理．过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，根据“垂线段最短”，即可得为的值最小，再利用面积公式求出的值，即可得出答案，解题关键是利用垂线段最短解决最值问题．

【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点，

平分，

，

，

当点与点重合时，的值最小，等于的值，

，的面积为8，

，

，

的最小值为4，

故选：B．

7．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，将军饮马问题，理解将军饮马问