专题08 解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线压轴题三种模型全攻略（原卷版）.docx

专题08解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线压轴题三种模型全攻略

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1

【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】 11

【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 17

【典型例题】

【类型一等腰三角形中底边有中点时，连中线】

例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．

(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．

【变式训练】

1．在中，，，点D是边的中点．

(1)如图，若点E，F分别在边，上，，求证：，并说明理由；

(2)在（1）的条件下，，求的值．

2．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若．

(1)求证：；

(2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；

(3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由．

3．在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、

(1)如图1，若点是的中点时，求证：

(2)如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．

(3)如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．

4．在中，，，点O为的中点．

(1)若，两边分别交于E，F两点．

①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；

②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．

(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．

【类型二等腰三角形中底边无中点时，作高线】

例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE．

(1)求证：BD＝CE；

(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数．

【变式训练】

1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．

(1)若，求的度数；

(2)求证：；

(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．

2．已知在中，，且=．作，使得．

(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；

(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；

(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．

【类型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．

求证：

(1)；

(2)．

【变式训练】

1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）

(1)【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．

(2)【类比解答】

如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．

(3)【拓展延伸】

如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．

(4)【实际应用】

如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．

2．【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点B，易证≌，则．其分析过程如下：

在和中，

平分

≌（___________）

在括号内填写全等判定方法字母简称

（___________）

在括号内填写理由依据

【问题探究】

如图2，中，平分，垂足在的延长线上．证明：；

【拓展延伸】

如图3，在中，在线段上，向左侧作于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论．