圆是一般方程(24张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

位置关系;

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直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中也是有标准方程与一般式方程。

这节课，我们将在上节课的基础上学习圆的另一种方程表达式：一般式方程。;

圆的般方程;

首称

1.掌握圆的一般2.会将圆的一般方程化为圆

方程及其特点.的标准方程，并能熟练地指

出圆心的坐标和半径的大小.

3.能根据某些具体条

件，运用待定系数法

确定圆的方程.;

圆的标准方程：(x-a))2=r2圆心C(a,b),半径r

把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子?

x2+y-2ax-2by+a2+b2-r2=0

我们能否将以上形式写得更简单一点呢?

由于a,b,r均为常数，所以令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F结论：任何一个圆方程可以写成下面形式;

问题：是不是任何一个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢?

尝试：判断下列方程分别表示什么图形?

(1)x2+y2-2x+4y+1=0(x-1)2+(y+2)2=4圆圆为径61为，2,

(2)x2+y2-2x-4y+5=0(x-1)2+(y-2)2=0点(1,2);

探究：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在什么条件下

表示圆?

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方，并把常数项移到右边，得

(1)当D2+E2-4F0时，表示以为圆为半径的圆

(2)当D2+E2-4F=0时，方程只有一组4表示

(3)当D2+E2-4F0时，方程无实数解，所以不表示任图形.

因此，当D2+E2-4F0时，方程①表示一个圆，我们

把方程①叫做圆的一般方程.;

因此，当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+

Dx+Ey+F=0表示一个圆.

我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的

一般方程.;

(x-准(

圆的标准方程明

确给出了圆心坐

标和半径;

两种方程的字母间的关系：;

VhA

y

y

C.

C

0

F=0

E=0;

练习一一课本

1.求下列各圆的圆心坐标和半径：P88

(1)x2+y2-6x=0;(1)圆心坐标为(3,0),半径长为3;

(2)x2+y2+2by=0;(2)圆心坐标为(0,-b),半径长为|b|;

(3)x2+y2-2ax-2J3ay+3a2=0.(3)圆心坐标为(a,J3a),半径长为Ial.

2.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由：

(1)x2+y2=0;(1)方程表示一个点(0,0);

(2)x2+y2-2x+4y-6=0;(2)方程表示圆心坐标为(1,-2),

(3)x2+y2+2ax-b2=0.半径长为1的圆；

(3)当a2+b2≠0时，方程表示圆心坐标为(-a,0),半径长为√a2+b2.

当a2+b2=0时，方程表示一个点(0,0).;

例4求过三点0(0,0),M?(1,1),M?(4,2)的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.

解1:(,M,M?的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

则

解D-8E-G.P=

∴过0,M,M?的圆方程为x2+y2-8x+6y=0,圆心坐标为(4,-3),半径r=5.

解2:(待定系数法)设过0,M,M?的圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.;

的半径和圆心坐标。

解3线段0M的垂直平分线方程为

即x+y-1=0.

线段OM?的垂直平分线方程为

y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.

联立方程,解得x=4,y=-3.

∴所求圆的圆心坐标为(4,-3),半径为r=5.

所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.;

方法小结

求圆的方程的方法：

圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)

一般地，求圆的方程有两种方法：

(1)待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，

根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组，求系数.

利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐