8高中数学新教材课堂导学案（圆的方程）及答案.doc

课堂导学（圆的方程）

【知识点】

一、圆的标准方程

，其中为圆心，为半径.

特别的，当，圆的方程就是.

注：(1)如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是.

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

(2)点与圆C：的关系：

①若点在圆上

②若点在圆外

③若点在圆内

二、圆的一般方程

由方程得

注：(1)当时，方程只有实数解.它表示一个点.

(2)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.

【典例】

例1．（2022·全国·模拟预测）已知圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，则（???????）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【解析】

【分析】

分别求得圆和原点为圆心的圆的圆心坐标，求得直线的斜率为，即的中点坐标为，结合题意，求得直线的方程，代入中点坐标，即可求解.

【详解】

由题意，圆，可得圆心坐标为，

以原点为圆心的圆的圆心坐标为，

可得直线的斜率为，且的中点坐标为，

因为圆与以原点为圆心的圆关于直线对称，

所以，即，

将点代入直线，可得.

故选：A.

例2．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知圆经过点，，.

(1)求圆的方程；

(2)求直线截圆所得两段弧长之比.

【答案】(1)；

(2)

【解析】

【分析】

（1）设圆的一般方程，把三个点代入即可解出答案.

（2）圆心在直线上，即可得出答案.

(1)

设圆的一般方程为，把三个点代入得

，得

所以圆的方程为???

即.

(2)

由于圆心在直线上，故直线截圆所得两段弧长之比为.

例3．求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；

(2)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；

（3)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．

【答案】(1)或

(2)

(3)

【解析】

【分析】

利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.

(1)

设圆的标准方程为．

因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，

所以所求圆的标准方程为或．

(2)

设圆心为．

因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，

解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．

所以所求圆的方程为．

(3)

设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．

又该圆经过A、B两点，所以．

所以，解得a=-2，

所以圆心坐标为，半径．

故所求圆的标准方程为．

【作业】

一、选择题

1．（2022·江苏·高二）圆的圆心和半径分别是（???????）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【解析】

【分析】

先化为标准方程，再求圆心半径即可.

【详解】

先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.

故选：D.

2．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

按照圆的一般方程满足的条件求解即可.

【详解】

或.

故选：C.

3．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（??????????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.

【详解】

圆C：的圆心，半径．

设点关于直线的对称点为，

则，

所以圆C关于直线的对称圆的方程为，

故选:C．

4．（2022·江苏·高二）若直线是圆的一条对称轴，则（???????）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．

【详解】

由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．

故选：A．

5．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆的弦MN的中点为，则直线MN的方程是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可知，则可求得斜率，进而求得直线方程.

【详解】

由圆方程可知圆心，则，由题可知，所以，又MN过点，根据点斜式公式可知直线MN的方程是.

故选：B.

6．（2022·全国·高二课时练习）方程表示的曲线是（???????）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

整理得，再根据圆的方程即可得答案.

【详解】

解：对两边平方整理得，

所以，方程表示圆心为坐标原点，半径为的圆在轴及下方的部分，A选项满足.

故选：A

7．（多选题）（2022·江苏·高二）圆，则（???????）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于直线对称 D．关于直线对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】

由圆的方程可确定圆心，由圆心位置和直线是否过圆心可确定各个选项的正误.

【详解】

对于A，由