14高中数学新教材课堂导学案（双曲线二）及答案.doc

课堂导学（双曲线二）

一、椭圆、双曲线的区别和联系：

椭圆

双曲线

根据|MF1|+|MF2|=2a

根据|MF1|－|MF2|=±2a

a＞c＞0，

a2－c2=b2（b＞0）

0＜a＜c，

c2－a2=b2（b＞0）

，

（a＞b＞0）

，

（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

（a最大）

（c最大）

标准方程统一为：

方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件

方程Ax2+By2=C可化为，即，

所以只有A、B异号，方程表示双曲线。

当时，双曲线的焦点在x轴上；

当时，双曲线的焦点在y轴上。

二、双曲线的渐近线

（1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为，则其渐近线方程为

已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。

（2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可。

（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线

与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）

（4）等轴双曲线的渐近线

等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为.

（5）双曲线的焦点到渐近线的距离为.

三、焦三角面积：

四、中点弦问题：

已知双曲线：（，），是双曲线上不同的两点，且线段不与坐标轴平行，是线段的中点，则.（提示：用点差法）

【典例】

例1．（2022·全国·高二课时练习）双曲线的左?右焦点分别是?，过的弦AB与其右支交于A?B两点，，则的周长为（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用双曲线的定义和三角形的周长即得．

【详解】

由题可得，

则的周长为.

故选：C．

例2.设双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）

A． B． C． D．

例3．双曲线的右焦点为，双曲线C的一条渐近线与以为直径的圆交于点（异于点O），与过F且垂直于轴的直线交于，若，则双曲线C的离心率为（???????）

A． B．3 C．5 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，利用直角三角形，渐近线的斜率，三角形的面积关系可得关于的方程，化简即可得出双曲线的离心率.

【详解】

不妨设双曲线的一条渐近线方程为，

由题意知，又，，所以，

若，则，即，

在中，由勾股定理可得，

又，可得，

所以，化简可得，即，

所以，

故选：A

例4.已知双曲线，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，求直线AB的方程.．

例5.（2016浙江）设双曲线的左、右焦点分别为，．若点在双曲线上，且锐角三角形，求的取值范围._______．

【作业】

1．已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（???????）

A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线

【答案】B

【解析】

【分析】

根据表示的几何意义，结合双曲线定义，可判断答案.

【详解】

点的坐标满足,

即动点,到定点距离减去到的距离，差等于4，

即,且，

故动点P的轨迹是双曲线的一支，

故选：B

2．（2022·广东·深圳市罗湖外语学校高二阶段练习）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是（???????）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意得到A，B两个哨所的距离差为定值，小于A，B两个哨所之间的距离，满足双曲线的定义，可解.

【详解】

设炮弹爆炸点为P，则，故炮弹爆炸点的轨迹是双曲线.

故选：D.

3．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.

【详解】

椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，

由双曲线的定义可得，

，，，

因此，双曲线的方程为.

故选：C.

4．设，是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，且，则的面积等于（???????）

A．6 B．12 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用双曲线定义结合已知求出及，再求出焦距即可计算作答.

【详解】

双曲线的实半轴长，半焦距，因此，，

因，由双曲线定义得，解得，，

显然有，即是直角三角形，

所以的面积.

故选：A

5．双曲线与双曲线具有共同的（???????）

A．实轴 B．虚轴 C．焦点 D．渐近线

【答案】D

【解析】

【分析】

求出两双曲线的实轴、虚轴的位置，以及焦点坐标、渐近线方程，可得出合适的选项.

【详解】

双曲线的实轴在轴上，虚轴在轴上，焦点坐标为，渐近线方程为，

双曲线的实轴在轴上，