模块三大招14恒成立求参——必要性探路(含答案解析）.pdf

大招14恒成立求参——必要性探路

1．必要性探路

在一些含参问题中，可以通过取一些特殊值（通常为，等特殊点）来缩小参数的取值范

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围，从而减少讨论参数取值范围时分析讨论的量．采用这种方法处理问题相当于先算出了最

终结果的一个必要条件，所以我们把这种处理问题的方法称为必要性探路．

2.基本步骤：

（）探究必要条件，缩小参数范围：在给定的范围内取特殊值，然后由不等式成立求出参

1

数的取值范围，该取值范围即为不等式恒成立的一个必要条件，接下来探究其充分性选择

.

的特殊值可以为端点值、极值点、不等式公共取等条件、常见特殊数（如0,1,e,e2等）.

（）证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调；

2

①如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案；

②如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步确定函数的最值.

3．必要性探路的注意事项

必要性探路缩小的参数取值范围，不一定是参数的最终取值范围，还需进行如下操作：

第一步：如果可以使用主元法成功证明不等式，则缩小的参数取值范围就是参数的最终取值

范围．

第二步：如果使用主元法无法证明不等式，则需要使用分类讨论或分离参数对缩小的取值范

围作进一步分析．

试卷第1页，共7页

【典例1】

fxlnxax

已知函数．

1fx;

讨论的单调性

x1

2gxexfxgx0a

设，若恒成立，求的取值范围．

【大招指引】第（）问略，第（）问中，若采用分离参数或含参讨论，解答过程都比较

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繁琐，

因此尝试使用必要性探路法函数的定义域的区间端点取不到，取.x1，得出a1,进一步证

明其充分性.

1

fx0,fxa

【解析】的定义域为，．

x

1fx0fx0,;

当a0时，，则在上单调递增

1

fx0x

当0时，令得到，

a

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0xfx0fx;xfx0fx;

当时，，单调递增当时，，单调递减

aa

fx0,;

综上：当a0时，在上单调递增

11