大招29隐函数求导(含答案解析）.pdf

29

大招隐函数求导

1．显函数的定义

yxyfxy

如果是关于自变量的一个函数，且能够得到函数的解析式，则是关于自变量

x的显函数（例如yx1）．

2．隐函数的定义

2

yxFx,y0

如果是关于自变量的一个函数，且满足一个方程（例如yyx0），此

Fx,y0y

时就可以拿方程作为隐函数的表达式．

注：

yfx

（1）如果函数的解析式求不出来，那么不能将之显性化．

yfxy

（2）如果函数的解析式求得出来，那么对于来说既可以表示为隐函数形式，也

2

yx1y0yy

可以表示为显函数形式，例如是的隐函数形式，yx1是的显函数

形式．

3．隐函数的求导

yfxyx

这里把换成只是为了方便理解，后面使用熟练后可以直接把关于的导数记为



y．隐函数求导的一般步骤：

x

第一步：通过两边同时取对数或代数变形，把等式两边变成都能对求导的形式．

yx

第二步：把看作关于的函数，运用复合函数的求导法则对等式两边求导．



y

第三步：化简式子，得出的表达式．

4．隐函数求导的应用

①求圆锥曲线的切线方程．

②进行复杂函数的求导运算．

试卷第1页，共4页

2

【典例1】求双曲线x－＝1在点（，）处的切线方程．

【大招指引】利用隐函数的求导方法进行求导，再利用导数的几何意义、直线的点斜式写

出切线方程.

2

【解析】对x－＝1求导得2x－y·y′＝0，

∴y′＝，∴y′|x＝2，

2

故双曲线x－＝1在点（，）处的切线方程为y－＝2（x－），

即－－＝

2xy0.

【题后反思】本题也可以直接圆锥曲线的切线结论直接求解：

因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点P（x，y）处的切线方程是－＝1，

00

2

所以双曲线x－＝1在点（，）处的切线方程为x－＝1，即为2x－y－＝

0.

【温馨提醒】导数法是解决曲线切线问题的根本出路．要了解隐函数的求导法则，掌握由

曲线方程求导数的方法技巧．

【举一反三】

22

xyxxyy

1．证明：过椭圆C：