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拉普拉斯定理--行列式乘法
一、k级子式余子式代数余子式
二、拉普拉斯(Laplace)定理
§8拉普拉斯定理、行列式乘法法则
三、行列式乘法法则
一、k级子式与余子式、代数余子式
定义
在一个n级行列式D中任意选定k行k列
按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列
式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后
若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是
注：
①k级子式不是唯一的.
例1：四阶行列式
选定1、3行，2、4列的一个二级子式M
M的余子式和代数余子式分别为
例2：五阶行列式
中
与
是一对互余的子式.
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式D的任一子式M与它的代数余子式
A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中
的一项，而且符号也一致．
Laplace定理
由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的
代数余子式的乘积和等于D．即
若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式
即为行列式D按某行展开；
注：
为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．
例对于四阶行列式
选定2、3行得子式和代数余子式分别为
例3：计算行列式
解：选定一二行得六个子式
它们的代数余子式为
三、行列式乘法法则
设有两个n级行列式
证：
作一个2n级的行列式
由拉普拉斯定理
又对D作初等行变换：
可得
从而
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