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?4平面直角坐标系中的距离公式

4.1基础知识篇

1.两点间的距离

=1\*GB2(1)?已知、，则；特别地，原点与任意一点的距离为：．

=2\*GB2(2)?若在直线上，则．

2.点到直线的距离【证明方法：最简单是借助法向量，类似立体几何的距离求法！】

=1\*GB2(1)?点到直线的距离：．

=2\*GB2(2)?点到直线的距离为；点到直线的距离为．

证明如图所示，作PH⊥l于点H，则，设为直线l上任一点，则．

由于直线PH的方向向量，亦为直线l的法向量，故

．

注如果把距离公式中绝对值去掉，即，此时的d有正有负，一般称之为“有向距离”，显然，在直线两侧的点到直线的有向距离的正负是相反的！

3.两条平行直线之间的距离【利用公式之前，须保证的系数相等！！】

直线和直线的距离是：．

例(1)?已知点，，在x轴上求一点P，使，并求的值．

(2)?已知点，和直线，求一点使，且点到的距离等于2．

解(1)?；直译即可！或者利用直线的垂直平分线．

(2)?或；点必在线段的垂直平分线上！设，利用点到直线的距离公式，解出即可！

或者利用点必在与平行且距离为2的直线上，求出两条平行线，然后分别和垂直平分线联立，求出交点即可！

例求两平行线和间的距离．

解；法一：从其中一条直线上任取一点，再利用点到直线的距离公式即可；

法二：利用两条平行线之间的距离公式；须先把系数统一同等！！

例(1)?若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．

(2)?若直线被两条平行直线与所截得的线段长为，则直线的倾斜角等于．

解(1)?；直线与两条平行线垂直！(2)?或；直线与两平行直线的夹角为．

例若动点A、B分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()．

A． B． C． D．

解选A；依题意知的中点的集合为与直线和距离都相等的直线；设点所在直线的方程为，根据平行线间的距离公式得，即；显然，根据数据的特殊性，也可直接口算得到！

例(1)?已知是分别经过、两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是________．

(2)?直线分别过点，，它们分别绕P、Q旋转，但始终保持平行，则之间的距离d的取值范围为()．

A． B． C． D．

解(1)?；当与垂直时成立！(2)?选B．

例设两条直线的方程分别为和，已知a、b是关于x的方程的两个实数根，且，则这两条直线之间距离的最大值和最小值分别为()．

A．， B．， C．， D．，

解选D；两平行线间距离为，易知，，

故，结合，可得，即．

例如果点(1，b)在两条平行直线和之间，则b应取的整数值为_____．

解令x＝1，代入6x－8y＋1＝0，解得y＝；代入3x－4y＋5＝0，解得y＝2.由题意得＜b＜2，又b为整数，∴b＝1．

例(1)?求过直线与直线的交点，且到点的距离为2的直线方程．

(2)?已知直线经过点，并且点和到该直线的距离相等，求直线的方程．

(3)?已知直线经过点，，两点到直线的距离之比为，求直线的方程．

解(1)?易得交点为，易知所求直线斜率存在，设直线方程为，则，解得或，直线方程或．

当然，此题也可以利用相交直线的交点曲线系：，但是，要注意讨论单独验证，避免漏解．

(2)?和；

法一直译法，利用点到直线的距离公式！但是要注意直线的设法，以及对应的解题步骤；

如果是点斜式，需要讨论斜率的存在与否！计算量适中、是常规解法！！

如果是一般式，则可避免分类讨论！！但是，一般式的计算量会稍大，鲜用！！！

法二分析转化！经过分析可得到：满足题目条件的直线或者与直线平行，或者经过线段的中点．

(3)?或．

例用解析法证明如下两个结论：

(1)?平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．【(1)(2)的本质是一样一样的！！】

(2)?若是中边的中线，则有：．【三角形的中线长定理！】

答案如图所示，建立恰当的坐标系即可，具体的求解过程略．

例(1)?已知点，，点P在直线上，求取得最小值时P点的坐标．

(2)?已知，，点P为直线上一动点，求的最小值．

解(1)?设，则，当时，取得最小值，故所求P点的坐标为．

(2)?当时，取得最小值．

注这两小题也可以利用上题中的中线定理进行求解．

比如以第(2)小题为例，，的最小值就是原点O到直线的距离．

例已知为抛物线上任一点，则到直线距离的最小