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离散数学基础

1集合的概念与表示

集合是离散数学中的基本概念，它是一组具有特定性质的元素的组合。集合中的元素是不重复的，并且没有顺序。集合可以用来描述许多离散数学中的概念，如函数、关系、图等。

1.1集合的表示

集合的表示有两种主要方式：列举法和描述法。

列举法：直接列出集合中的所有元素，例如，集合A={1,2,3}表示A集合包含1，2，3这三个元素。

描述法：通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如，集合B={x|x是小于10的正偶数}。

在Python中，我们可以使用set数据类型来表示集合。例如：

#列举法表示集合

A={1,2,3}

print(A)#输出：{1,2,3}

#描述法表示集合

B={xforxinrange(1,10)ifx%2==0}

print(B)#输出：{2,4,6,8}

1.2集合的性质

空集：不包含任何元素的集合，记为?或{}。

全集：包含所有可能元素的集合，通常用U表示。

子集：如果集合A的所有元素都包含在集合B中，那么A是B的子集，记为A?B。

真子集：如果A是B的子集，但A不等于B，那么A是B的真子集，记为A?B。

集合的并集：两个集合A和B的所有元素的集合，记为A∪B。

集合的交集：两个集合A和B的共同元素的集合，记为A∩B。

集合的差集：集合A中但不在集合B中的元素的集合，记为A-B。

集合的补集：全集U中但不在集合A中的元素的集合，记为A’。

2集合的运算

集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

2.1并集

并集是两个集合的所有元素的集合。例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∪B={1,2,3,4,5}。

在Python中，我们可以使用|运算符或union方法来计算集合的并集：

A={1,2,3}

B={3,4,5}

C=A|B

print(C)#输出：{1,2,3,4,5}

#或者

C=A.union(B)

print(C)#输出：{1,2,3,4,5}

2.2交集

交集是两个集合的共同元素的集合。例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A∩B={3}。

在Python中，我们可以使用运算符或intersection方法来计算集合的交集：

A={1,2,3}

B={3,4,5}

C=AB

print(C)#输出：{3}

#或者

C=A.intersection(B)

print(C)#输出：{3}

2.3差集

差集是集合A中但不在集合B中的元素的集合。例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，那么A-B={1,2}。

在Python中，我们可以使用-运算符或difference方法来计算集合的差集：

A={1,2,3}

B={3,4,5}

C=A-B

print(C)#输出：{1,2}

#或者

C=A.difference(B)

print(C)#输出：{1,2}

2.4补集

补集是全集U中但不在集合A中的元素的集合。例如，如果U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3}，那么A’={4,5}。

在Python中，我们可以使用-运算符或difference方法来计算集合的补集，但需要先定义全集U：

U={1,2,3,4,5}

A={1,2,3}

C=U-A

print(C)#输出：{4,5}

#或者

C=U.difference(A)

print(C)#输出：{4,5}

以上就是离散数学中集合论基础的主要内容，包括集合的概念、表示和运算。理解和掌握这些内容，对于学习更高级的离散数学概念，如函数、关系、图等，都是非常有帮助的。#集合论基本原理

3集合的相等与包含

3.1原理

在集合论中，集合的相等与包含是两个基本概念。两个集合相等，意味着它们包含完全相同的元素，不论元素的顺序如何。集合的包含关系则表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合，但后者可能包含更多元素。

3.2内容

3.2.1集合相等

两个集合(A)和(B)相等，记作(A=B)，当且仅当它们的元素完全相同。即，对于任意的(x)，如果(xA)，那么(xB)；反之亦然。

3.2.2集合包含

集合(A)包含于集合(B)，记作(AB)，意味着集合(A)中的所有元素也都是集合(B)的元素。如果(A)包含于(B)，但(A)不等于(B)，则称(A)是(B)的真子集，记作(AB)。

3.3示例