模块三大招32齐次化（解题大招）(含答案解析）.docx

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大招32??齐次化在导数中的应用

在三角函数模块中我们已经研究了齐次化的方法，而到了导数这块，可以利用齐次化处理多变量问题和极值点偏移问题，

1.多变量问题

对于一道多变量问题，如果变量的次数都是相同的，那么我们同样可以采用齐次化换元，以减少题目中的变量，达到“消元”的目的．

2.极值点偏移问题

在极值点偏移问题中，证明与或有关得不等式，常常设或进行齐次化构造.构造一个关于的函数.

注：1.换元一定要注的取值范围；

2.构造出关于的函数，重新求导求解.

【典例1】若关于的方程恰有一个实根，则实数的取值范围是______．

【大招指引】由于关于的方程恰有一个实根，直接齐次化得到，关于的方程恰有一个实根，即关于的方程恰有一个实根．

【解析】构建函数，根据其导函数得到，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

于是函数在处取得最大值．从而关于的方程在上恰有一个实根，在上没有实根．

再构建一个关于的二次函数，得到函数在上有一个零点，在上没有零点，又由于，，于是函数在上有一个零点，此时只需让另一个零点落在上即可，进而，因此．

【题后反思】本题也可以利用参变量分离法进行求解：

由题意知不满足方程，由参变量分离法得出，其中，

构造函数，其中，则.

当或时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为.

函数在处取得极小值为.

当或时，，当时，.

作出函数和的图象如下图所示：

如上图可知，当时，直线与函数的图象有一个交点，

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【温馨提醒】对于一道次数都相等的多变量问题，我们可以采用齐次化换元，以减少题目中的变量，达到“消元”的目的．

【举一反三】

1．已知函数，，其中，且．若函数，则下列结论正确的是（???）

A．当时，有且只有一个零点

B．当时，有两个零点

C．当时，曲线与曲线有且只有两条公切线

D．若为单调函数，则

【典例2】已知函数，若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）.

【大招指引】设，，只需证明，设或，用表示，构造关于的函数，利用单调性证明结论

【解析】设，，则由

得，有，

设，则，．

欲证，需证﹒即只需证明，即

设﹐，，

故在上单调递减，故，故在上单调递增，因此，命题得证．

【题后反思】本题也可以按以下方法进行求解：

法一：（1）∵函数

∴

∴①②

∴①-②得，

①+②得，

设，，

，函数在上单调递增，，.

（为自然对数的底数）.

方法二：变换函数对称化构造

解：∵

∴，设，省略

方法三：对称化构造

解：设，省略

方法四：设，，

【温馨提醒】利用齐次化构造法解极值点偏移典型问题，依据是极值点的比值范围确定，故可以选择齐次化构造法；对于指数型零点等式利用取对数思想表示成对数函数结构比较好，这样处理的好处可以形象直观的做差和作和得到代数式子；这样可以得到引进的自变量和原来极值点的代数关系，求得出极值点的大致范围；通过自变量的范围，利用单调性就可求出参数的最值.

【举一反三】

2．若函数）有两个不同的极值点和，则a的取值范围为；若，则a的最小值为.

3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

4．已知函数，，则下列说法正确的是（????）

A．函数与函数有相同的极小值

B．若方程有唯一实根，则a的取值范围为

C．若方程有两个不同的实根，则

D．当时，若，则成立

5．已知函数的极大值点为0，则实数m的值为；设，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为．

6．已知函数（）．

(1)求的单调区间；

(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．

7．已知函数有两个零点．

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：．

8．已知函数．

(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．

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参考答案：

1．BC

【分析】根据零点的概念可转化为，即，代入特值可判断A选项；构造函数，求导根据函数的图像性质可判断B选项；根据导数的几何意义可列方程，化简可得，再构造函数，根据导数及零点的顶用可判断C选项；根据函数的单调性及导数的意义可判断D选项.

【详解】由，可得，即，

当，或当，时，都有成立，

即函数hx

又可转化为，即，

设，则，

又，

则当时，，单调递增，当时，，单调递减，

且当时，，当时，