2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）.docx

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2023-2024学年北京交大附中高一（下）期中数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.sin120°的值为(????)

A.32 B.12 C.?

2.若角α的终边过点(4,3)，则sin(α+π2

A.45 B.?45 C.3

3.已知扇形的弧长为4cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为(????)

A.4cm2 B.6cm2 C.

4.向量a,b,c正方形网格中的位置如图所示．若向量c=λa+

A.?2 B.?1 C.1 D.2

5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是(????)

A.f(x)=cos2x B.f(x)=tanx2 C.f(x)=

6.在△ABC中，AB=4，AC=3，且|AB+AC|=|AB

A.16 B.?16 C.20 D.?20

7.函数f(x)=cosx?|tanx|在区间(π2

A. B.

C. D.

8.已知函数f(x)=sin(2x+π4)，则“α=π8+kπ(k∈Z)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，a?b=0，则|a

A.2 B.3 C.2

10.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点(如图2)，若点P在BC的中点，则(PA+PB)?PO

A.2 B.4 C.6 D.8

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.与向量a=(?3,4)平行的单位向量是______．

12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π2)的部分图象如图所示，则f(

13.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,|φ|π2)的图象过点(0,12)，则φ=______，若将函数f(x)图象仅向左平移

14.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点E满足BE=3EC，点F为线段BD上一动点，则

15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinωt.音有四要素，音调、响度、音长和音色.它们都与函数y=Asinωt及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…..给出下列四个结论：

①函数y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…+110sin10x不具有奇偶性；

②函数f(x)=sinx+

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题10分)

如图，在△ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，设AB=a，AC=b．

(1)试用a，b表示AD，BE；

(2)若|a|=|b|=1，

17.(本小题12分)

已知函数f(x)=3sin(2x+π4)．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)若函数f(x)在区间[0,a]内只有一个零点，直接写出实数

18.(本小题12分)

已知A(4,0)，B(0,4)，C(cosα,sinα)，(0απ)．

(1)若|OA+OC|=21(O为坐标原点)，求OB与OC的夹角；

19.(本小题12分)

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,|φ|π2)，且f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．

(1)确定f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)=2sin(2x+π4)，则是否存在实数m，使得对于任意x1∈[0,π2]，存在x2∈[0,π2]，m=g(x1)?f(x2)成立？若存在，求实数m的取值范围：若不存在，请说明理由．

20.(本小题14分)

对于定义在R上的函数f(x)和正实数T，若对任意x∈R，有f(x+T)?f(x)=T，则f(x)为T?阶梯函数．

(1)分别判断下列函数是否为1?阶梯函数(直接写出结论)：

①f(x)=x2；②f(x)=x+1．

(2)若f(x)=x+sinx为T?阶梯函数，求T的所有可能取值；

(3)已知f