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专题02垂径定理及其应用

圆的对称性

圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。

定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；



垂径定理

推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。



垂径定理包含两个条件和三个结论，即

（3）直线平分弦，



（1）直线过圆心，



条件结论（4）直线平分弦所对的劣弧，



（2）直线和弦垂直，



（5）直线平分弦所对的优弧。



AEBE

CD是圆O的直径,AB为圆O的弦，



符号语言：ACBC

CDAB，

ADBD



推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。

圆的对称性以及垂径定理例题讲解

一、概念考察

【例1】下面四个命题中正确的一个是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

【答案】D

【解析】平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，A说法错误

过圆心且平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦，B错误

弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，C错误

【例2】下列命题中，正确的是（）．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧

【答案】C

【解析】A、B都未指出这条直线应该为垂线，所以AB都错误

D未说明过弦的中点，所以错误

【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，那么以下结论正确的选项是〔〕

A、AE=BEB、=C、△BOC是等边三角形D、四边形ODBC是菱形

【答案】B

【解析】∵AB⊥CD，AB过O，

∴DE=CE，=，(垂径定理）

不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．

【例4】如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要

添加一个条件，这个条件可以是（）

A．AD＝BDB．OC＝2CDC．∠CAD＝∠CBDD．∠OCA＝∠OCB

【答案】B

【解析】OC＝2CD．理由如下：

∵在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，

∴AD＝DB，

∵OC＝2CD，

∴AD＝BD，DO＝CD