模块三大招13恒成立参数——分类讨论(含答案解析）.docx

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大招13恒成立参数——分类讨论

1.分类讨论

①遇到的问题：由于参数、分段函数以及自变量的取值范围等的缘故，造成问题需要分多种情况讨论.

②处理的原则：一种一种情况去分析与讨论.

③分类的依据：往往是基于单调性、极值点、零点等分类.

2.多重分类讨论

①遇到的问题：第一层大类分完之后，大类里面还有小类需要分.

②处理的原则：把一个大类中所有小类全部讨论干净后，再去讨论第二个大类.优先考虑特殊情况，做到不重不漏.

【2024安徽合肥一中二检】

【典例1】已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是.

【大招指引】首先设，首先讨论的情况，再讨论的情况，同时利用二阶求导的方法研究的单调性与最值.从而通过最值得出参数的范围。

【解析】令，则，

由题意知，，，，

设，，

①当时，对任意的，，，则，此时函数在上单调递增，故，符合题意；

②当时，对任意的恒成立，所以在上单调递增，

因为，，

（i）当，即当时，对任意的，且不恒为零，

此时函数在上单调递增，则，符合题意；

（ⅱ）当且，即当时，

由零点存在定理可知，存在，使得，

且当时，，则函数在上单调递减，所以，不合题意；

（ⅲ）当，即当时，对任意的，且不恒为零，

此时，函数在上单调递减，则，不合题意.

综上所述，，故实数t的取值范围是.

【题后反思】若区间端点代入不等式中，不等式的左右两边相等，一般不进行分离参数，直接研究函数本身，常转化为求解函数最值的方法，因而在求最值时，会对单调性进行讨论，本题就是通过单调去研究最值.

【温馨提示】通过函数求最值解决不等式恒成立问题：一般是根据不等式的结构构造一个新函数,利用导数研究该函数的单调性,由函数的单调性确定其最值,或把其最值用含有参数的式子来表示,再根据所给不等式列出关于参数的不等式,

【举一反三】

1．设函数，其中.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若，求实数的取值范围.

【2024河南南阳地区摸底联考】

2．已知函数

(1)当时，求的最小值；

(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．

【2024福建莆田四中月考】

【典例2】已知函数，，，则实数的取值范围是（）

A.????B.????C.????D.

【大招指引】依题意可得对恒成立，记，即在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，分、、三种情况讨论，即可求出参数的取值范围.

【解析】，等价于，

记，即在上恒成立，

.

当即时，，在上单调递减，

所以当时，即恒成立；

当时，记，则，

当时，单调递减，又，，

所以存在，使得，当时，，单调递增，

所以，即，

所以当时，，即，不符合题意；

当时，，不符合题意.

综上，的取值范围是.故选：C

【题后反思】将原函数进行讨论时，有时涉及到对函数最值的讨论，从而确定讨论的参数分界点，再由最值不同进行确定最终参数的取值范围.

【举一反三】

【2024安徽合肥一中二检】

3．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数t的取值范围是．

【2024年全国高考名校名师联席命制型数学信息卷】

4．若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的最大值为．

【2023海南直辖县级单位统考】

【典例3】已知函数

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）写出一个适当的正整数，使得恒成立，并证明.

【大招指引】（1）利用导数的几何意义，根据切线方程的公式，求得切点坐标与斜率，可得答案；（2）先写出一个正整数，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，研究最值，可得答案.

【解析】（1），因为，所以，则，

所以曲线在处的切线方程为，即.

（2）当时，恒成立，即恒成立，

证明过程如下.今，

①当时，，所以.

②当时，，令，

则，可知在上单调递增.

当时，，所以，即在上单调递增，

又因为，所以，即在上单调递增，

所以成立.

一般情况下探求：当时，，即，

令，

①当时，，所以.

②当时，，令，

则，可知在上单调递增.

又因为，所以存在，使得，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以只需满足即可.

【题后反思】涉及到含正整数的问题中，对单调性的讨论要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号

【举一反三】

【2022届高三下学期临考冲刺原创卷】

5．已知函数（）．

(1)讨论的单调性；

(2)是否存在，使得对恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．

【2023滨海新区期末】

6．已知函数，.

(1)若，求m的值及函数的极值；

(2)讨论函数的单调性：

(3)若对定义域内的任意x，都有恒成立，求整数m的最小值.

【2024四川成都武侯区川大附中期中】

【典例4】已知函数，，