模块三大招12恒成立求参——分离参数(含答案解析）.docx

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大招12??恒成立求参——分离参数

1．分离参数的一般思路

对于一个含参问题，可以通过分离参数，将参数与变量彻底分离开来，从而把一个含参问题转化为一个非含参问题，进而通过导数研究分离后得到的函数的单调性，极值与最值，最终解决问题．

（1），；（恒成立问题）

（2），；（恒成立问题）

（3），；（能成立（或有解）问题）

（4），．（能成立（或有解）成立问题）

（5）在M上恰成立的解集为M

另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值．

2．使用分离参数的要求

①参数与变量可以比较容易地分离开．

②分离参数后得到的函数的形式不复杂，通过导数来研究单调性，极值以及最值比较容易．

③分离参数后得到的函数的值域容易算，不会出现必须使用洛必达法则才能解决问题的情形．

【典例1】【2024四川成都高三一模】若恒成立，则实数的最大值为（）

A．????B．2????C．1????D．

【大招指引】本题可直接进行分离参数，但需先确定时的情况，在当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可.

【解析】当时，，不等式成立；当时，恒成立，即，令，则，

因为时，（后证），所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，故，

所以，即实数的最大值为.证明当时，，

令，，则，

则在上单调递增，所以，即.故选：D.

【题后反思】当不等式含有两个字母时，其中一个有定义域的为变量，另外一个则为参数.两个变量比较容易拆开时，则用参变分离.

【温馨提示】如何确定参数与变量：一般情况下，有范围的字母为变量，构造关于它的函数，所求的字母（一般情况下）看为参数.参变分离后，已知变量的函数解析式是否能求出最值（端点值或临界值），若无法求出最值，则无法用参变分离解决.

【举一反三】

【2024内蒙古呼和浩特质量监测】

1．已知函数，当x∈0,+∞时，恒成立.则实数的取值范围是.

【2023四川绵阳中学月考】

2．若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【典例2】已知函数，．

（1）若与在处相切，求的表达式；

（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．

【大招指引】（Ⅰ）对与均求导，再代入，由所以.

（Ⅱ）由在上是减函数，可转化为恒成立问题，当时，，通过分离参数，当时，．再求出不等式右侧的最值即可.

【解析】（1）因为，，所以，，因为与在处相切，所以所以所以．

（2）因为在上是减函数，所以当时，，所以当时，（分离参数）．

令，则，当时，，单调递增，所以，所以．综上所述，实数的取值范围为．

【题后反思】在区间上单调递增（减）转化为不等式的恒成立问题（常用）:

f（x）在区间M上递增?f′（x）≥0在M上恒成立

f（x）在区间M上递减?f′（x）≤0在M上恒成立

【举一反三】

【2024湖北省宜荆荆随恩12月联考】

3．已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【2023四川泸州三模】

4．已知函数．

(1)若单调递增，求a的取值范围；

(2)若，，求a的取值范围．

【典例3】已知函数，

（1）判断函数在区间上的单调性；

（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值．

【大招指引】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；

（2）不等式，变形为，因此令，利用导数求出的最小值，但最小值对应的x求不出来，便可利用隐零点的范围，求出最值，从而可得的取值范围，因而得到最大的正整数．

【解析】（1），

∵，∴，∴，

∴在上是减函数；

（2）当时，恒成立，即对恒成立，

，记，

则，∴在上单调递增，

又，∴存在唯一实数根，且满足

，，

由时，，时，，知的最小值是，

∴，正整数k的最大值是3．

【题后反思】隐零点在恒成立求最值中的转化技巧：

（1）整体代换：把超越式子（多为指数和对数式子）转化为普通的（如二次函数一次哈数等）可解式子，如比值代换等等.

（2）反代消参：反解参数代入，构造单一变量的函数.如果要求解（或者要证明）的结论与参数无关，则可以通过反解参数，用变量（零点）表示参数，然后把函数变成关于零点的单一函数，再对单一变量求导就可以解决相应的问题.

（3）留参降次（留参、消去指对等超越项）：如果要求解的与参数有关，则可以通过消去超越项，建立含参数的方程或者不等式.恒等变形或者化简方向时保留参数，通过“降次”变换，一直降到不可再降为止，再结合条件，求解方程或者不等式，解的相应的参数值或者参数范围.

【举一反三】

【2024高三核心模拟卷】

5．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的