2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 上海卷 （含答案）.doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷

（上海卷）

一.填空题（本题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）

1.已知集合，，求_______.

2.________.

3.已知复数满足（为虚数单位），则_______.

4.已知行列式，则行列式_______.

5.已知，则_______.

6.已知.1.2的中位数为3，平均数为4，则=.

7.已知，则的最大值为.

8.已知是公差不为零的等差数列，且，.

9.从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有种排法。

10.椭圆，过右焦点作直线交椭圆于两点，在第二象限已知都在椭圆上，且，，则直线的方程为.

11.设，若存在定义域的函数既满足“对于任意，的值为或”又满足“关于的方程无实数解”，则的取值范围为.

12.已知是平面内两两互不平等的向量，满足，且(其中)，则的最大值为.

二、选择题（本题共有4小题，每题5分，共计20分）

13.下列不等式恒成立的是()

A. B. C. D.

14.已知直线的解析式为，则下列各式是的参数方程的是（）

A. B. C. D.

15.在棱长为10的正方体.中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于.两点，则点所在的平面是（）

A. B. C. D.

16.若存在,对任意的，均有恒成立，则称函数具有性质，已知：单调递减，且恒成立；单调递增，存在使得，则是具有性质的充分条件是（）

A.只有 B.只有 C. D.都不是

三、解答题（本题共5小题，共计76分）

17.已知边长为1的正方形，沿旋转一周得到圆柱体.

（1）求圆柱体的表面积；

（2）正方形绕逆时针旋转到，求与平面所成的角.

18.已知.

（1）若的周期是，求，并求此时的解集；

（2）已知，，，求的值域.

19.已知：，，且，

（1）若，求的取值范围；

（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值。

20.双曲线，圆在第一象限交点为，，曲线.

（1）若，求；

（2）若，与轴交点记为,是曲线上一点，且在第一象限，并满足，求∠；

（3）过点且斜率为的直线交曲线于两点，用的代数式表示，并求出的取值范围.

21.有限数列，若满足，是项数，则称满足性质.

（1）判断数列和是否具有性质，请说明理由.

（2）若，公比为的等比数列，项数为10，具有性质，求的取值范围.

（3）是的一个排列都具有性质，求所有满足条件的.

参考答案

1.答案：

2.答案：

3.答案：

4.答案：2

5.答案：

6.答案：36

7.答案：-1

8.答案：

9.答案：180

10.答案：

11.答案：

解析：题目转换为是否为实数,使得存在函数

满足“对于任意，的值为或”，

又满足“关于的方程无实数解”构造函数；

，则方程

只有0,1两个实数解。

12.答案：6

解析：根据向量减法的运算规律，可转化为以向量终点为圆心，作半径和的圆，两圆交点即为满足题意的，由图知，的最大值为6.

13.答案：B

14.答案：D

15.答案：D

解析：延长至点，使得

延长至点，使得,

以为顶点作矩形，记矩形的另外一个顶点为，

连接，则易得四边形为平行四边形，

因为点在平面内，点在平面内，

且点在平面的上方，点在平面下方，

所以线段必定会在和平面相交，

即点在平面内

16.答案：C

解析：本题要看清楚一个函数具有性质的条件是，存在，

则对于时，易得函数具有性质；

对于，只需取，则，，

所以，所以此时函数具有性质.

17.答案：（1）；

（2）

18.答案：（1），;

（2）

19.答案：（1）；

（2）时，

20.答案:（1）2；

（2）；

（3）；

解析：（1）若，因为点为曲线与曲线的交点，

，解得，

（2）方法一：由题意易得为曲线的两焦点，

由双曲线定义知：，，

又，

在中由余弦定理可得：

方法二：，可得，解得，

，

（3）设直线

可得原点到直线的距离

所以直线是圆的切线，切点为，

所以，并设，与圆联立可得，

所以得，即，

注意到直线与双曲线得斜率为负得渐近线平行，

所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，

由，得，

所以有，解得，或（舍）

又因为由上的投影可知：

所以

.

21.答案：（1）对于第一个数列有，

满足题意，该数列满足性质

对于第二个数列有不满足题意，该数列不满足性质.

（2）由题意可得，

两边平方得：

整理得：

当时，得，此时关于恒成立，

所以等价于时，所以，

所以或者，所以取.

当时，得,此时关于恒成立，

所以等价于时，所以，

所以,所以取.