人教A版高中同步训练数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 8.6.3 第2课时 平面与平面垂直的性质定理.ppt

8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理

课前·基础认知课堂·重难突破

课前·基础认知

平面与平面垂直的性质定理

微思考(1)若α⊥β,则α内的所有直线都垂直于β吗?提示:不一定,只有垂直于交线的直线才垂直于β.不垂直于交线的直线与β不垂直.(2)若α⊥β,则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗?提示:正确.若设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线.(3)若α⊥β,点A∈α,过点A作直线l⊥β,那么l与α有什么关系?垂足在β内什么位置?提示:l?α,垂足在α与β的交线上.

微拓展平面与平面垂直的性质定理揭示了面面垂直、线面垂直及线线垂直间的内在联系,体现了数学中的化归、转化思想,其转化关系如下:

课堂·重难突破

一平面与平面垂直的性质定理的应用典例剖析1.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2.求证:BF⊥平面ACFD.

证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,AC?平面ABC,所以AC⊥平面BCK,又BF?平面BCK,因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.又CK∩AC=C,CK,AC?平面ACFD,所以BF⊥平面ACFD.

规律总结1.证明或判定线面垂直的常用方法(1)直线与平面垂直的判定定理;(2)平面与平面垂直的性质定理;(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a,b为直线,α为平面);(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面).2.由两平面垂直的性质定理,要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.

学以致用1.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到四棱锥D1-ABCE,如图②所示,其中平面D1AE⊥平面ABCE.求证:BE⊥平面D1AE.

证明:由题意,可知AE=BE=2,又AB=4,所以AE2+BE2=AB2,所以BE⊥AE.又平面D1AE⊥平面ABCE,平面D1AE∩平面ABCE=AE,BE?平面ABCE,所以BE⊥平面D1AE.

二线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用典例剖析2.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA;(3)平面DEA⊥平面ECA.

证明:(1)设BD=a,如图,作DF∥BC交CE于F,则CF=DB=a.因为CE⊥平面ABC,所以BC⊥CF,DF⊥EC,

(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MNCEDB.所以四边形MNBD为平行四边形,所以MD∥BN.又因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,EC⊥MD.又DE=DA,M为EA的中点,所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC,所以平面BDM⊥平面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC,而DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.

规律总结垂直关系的互化及解题策略解决立体几何问题的关键是将空间问题化成平面问题.要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形得到所需要的条件.对于一些较复杂的情况,注意应用转化思想解决问题.

学以致用2.如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA⊥平面ABC;(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

证明:(1)如图,在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC,∴DF⊥PA.同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.

(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.又AE⊥平面PBC,∴PC⊥AE.∵BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE,∴PC⊥AB.又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.∵PA∩PC=P,∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.