模块三大招10对数平均不等式(含答案解析）.docx

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大招10???对数平均不等式

1．对数平均不等式内容和证明：

两个正数和的对数平均定义：，对数平均与算术平均?几何平均的大小关系：，结合基本不等式链便有：

.???????

（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立．

证明如下：不失一般性，可设．

（1）先证：……①

不等式①（其中）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.

（2）再证：……②

不等式②（）

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．

注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.

2．对数不等式链

；

.

3．对数平均不等式的变形：

为了叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式，记为①式；将，记为②式；将，记为③式.

变形1：取，则由①知：.于是，可编制如下试题：已知，求证：.

变形2：取，则由②知：.于是，可编制如下试题：已知，求证：.

变形3：取，则由③知：.于是，可编制如下试题：已知，求证：.

变形4：取，则由①知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形5：取，则由②知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形6：取，则由③知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形7：取，则由①知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形8：取，则由②知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形9：取，则由③知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形10：取，则由①知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形11：取，则由②知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

变形12：取，则由③知：.于是，可编制如下试题：对任意，且，求证：.

4．对数平均不等式应用时的注意事项

①对数平均不等式在大题中不能直接使用，要使用的话需要补充上证明过程（所以需要记一下如何证明呦）．因此它更多的是给我们提供一个放缩的思路．

②遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化．

【典例1】已知函数，如果，且，证明：．

【大招指引】本题是一道极值点偏移的问题，本可以使用极值点偏移的方法，但已知函数中含有对数形式，从而可以考虑一下对数平均数.先将指数式化为对数式，再根据对数对数平均数的特点进行变形，得到，代入到对数平均不等式即可.

【解析】证明：即，，则（正数，的对数平均数为1），于是，得，且．

【题后反思】用对数平均数求证极值点偏移问题的步骤：

（1）根据建立等量关系；

（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数；

（3）通过恒等变形转化出对数平均数，代入对数平均不等式求解．

【温馨提示】对数平均不等式在大题中不能直接使用，必须要先进行证明.它的证明还有可以利用主元法进行证明：不妨设，

，记

，，则，得在上单调递淢，有，左边得证，右边同理可证．

【举一反三】

1．已知函数的图像与直线交于不同的两点，，求证：．

2．设函数的两个零点是，求证：．

【典例2】设函数，，其中是的导函数．

设，比较与的大小，并加以证明．

【大招指引】首先根据题意表示出

，便知需要比较与的大小.利用时，，即

再求和即可.

【解析】因为，所以，而，因此，比较与的大小，即只需比较与的大小即可．根据时，，即令则

所以，，，将以上各不等式左右两边相加得：，故.

【题后反思】如若证明.可利用当时，，即令

则

【举一反三】

3．已知函数的最小值为0．证明：

4．已知函数的图象在点处的切线方程为．

(1)用表示出；

(2)证明：

【典例3】已知函数．

（1）求函数的单调区间．

（2）设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：．

【大招指引】（1）常规解法；（2）先通过得到

，然后利用函数单调递增，将三角给放缩掉，得到，进而通过对数平均不等式，证明．

【解析】（1）因为，所以，若，则，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递减区间为，函数的单调递增区间为．

因为，所以，因为存在两个不相等的实数，，当，时，，所以可设，且满足，所以．构建函数，所以，当且仅当，时取等号，所以函数单调递增，所以，所以，所以，所以要证，只需证，如果要证明，则需证明，也就是需要证明．

构建函数，，所以，所以当时，，单调递增，所以当时，，又，所以，所以．

【题后反思】很多题目并不会直接出现对数平均不等式，而是需要不断的