模块二大招18复合方程的实数根问题(含答案解析）.docx

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大招18复合方程的实数根问题

1．复合方程的由外向内

探讨“求关于的复合方程实数根的个数”相关问题时，如果方程能解，我们一般采用由外向内一层一层去处理，其一般步骤如下：

第一步：设，解关于的方程，得到若干实数根．

第二步：分别探讨关于的方程的实数根的个数，各个方程的实数根个数之和即是关于的复合方程实数根的个数，也可以根据实数根个数之和求方程中参数的取值范围．

“口诀”：外层函数找零点，内层函数拉直线

2．复合方程的由内到外

探讨“已知关于的复合方程实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内．但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解，此时就需要由内向外处理．其一般步骤如下：

第一步：构建合适的复合函数，设，得到函数的性质及值域（主要是单调性），如有必要画出函数图象．

第二步：确定关于的方程的实数根的个数情况，进而求出参数的取值范围．

【典例1】已知函数，则方程实数根的个数为______．

【大招指引】本题是是一道求方程实根个数的问题，同时发现其为复合方程，因此可以根据研究复合函数（方程）的方法：由外向内，先设，根据，得到，求出，．再画出的图像，根据，画出2条平行于x轴的直线，数出交点个数即可.

【解析】先设，根据，得到，进而解得，．而，

于是就有

根据导函数得到当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，函数的图象如图所示．

，当时，，因此关于的方程有两个实数根，关于的方程有两个实数根．

综上所述，方程实数根的个数为4．

【题后反思】复合函数零点（复合方程的根）的个数求解时，“换元解套”.其易错点如下:①不理解函数f（x）与f（t）是同一个函数;②画错了f（x）的图象;③误将t的个数看作f（g（x））或a[f（x）]2+bf（x）+c的零点个数;④数形结合时，考虑不完善等都容易导致错解.

【温馨提醒】对于外层函数的分析，要注意外层函数隐含的范围，换元是解决这类问题最有效的手段，换元之后要研究范围.

【举一反三】

【2024山东济宁期中】

1．已知函数，则函数的零点个数是（????）．

A．2 B．3 C．4 D．5

【2024河北金科大联考10月质量检测】

2．已知函数则函数的所有零点之和为（????）

A．2 B．3 C．0 D．1

【典例2】已知，函数，，若函数有6个零点，则实数m的取值范围是______．

【大招指引】本题是复合函数零点求参数范围额问题，解决策略仍然是先令，再分析与的图象的交点个数问题，根据题意函数有6个零点，则知每一个的值对应2个的值，从而将其转化为平行于x轴交点的直线与二次函数的交点个数分析.

【解析】函数的图象如图7-2-11所示，令，与的图象最多有3个零点，当有3个零点，则，从左到右交点的横坐标依次，由于函数有6个零点，，则每一个的值对应2个的值，则的值最小值时，必须高于内函数的顶点，函数对称轴，则的最小值为1，由图7-2-12可知，，则，满足①，又②，联立①②得．所以实数m的取值范围是．故答案为．

【题后反思】本题直接通过换元，转化为内外层两个函数，通过画图可以确定参数的取值范围，分析得出最后的结果，但如果遇到一些不能直接研究图像的函数，可以进行分参处理，如接下来的例3．

【举一反三】

【2024天津五区重点校联考】

3．已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（????）

A． B．(

C． D．

【2024福建莆田一中月考】

4．已知函数，方程有6个不同的实数解，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【典例3】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（????）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】本题通过换元，令，，对于二次函数不太容易研究的时候可通过参变分离，，由原方程有8个不同实根，则，所以只需求出在区间有两个交点即可.

【解析】如图7-2-13，令，，参变分离得，显然是一个对勾函数，如图7-2-14，因为原方程有8个不同实根，则，所以只需求出在区间有两个交点即可，因为，所以，故选C．

【题后反思】某些情况下外函数在求零点时会遇到一些计算量较大的情况，故需要对外函数进行参变分离，即分解为与，利用参变分离心率，将转化为形式，从而构造与交点，即在外函数也增加了一条横线来确定，的具体位置．

【举一反三】

5．已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．

6．已知，关于的方程有四个不同的实数根，则的取值范围是．

【典例4】已知函数与的图象在4个不同的交点，