人教版高三数学知识必备03 函数的概念与性质2025年高考一轮复习.docxVIP

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专题03函数的概念与性质

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

知识点1函数的有关概念

1、函数的概念：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作.

2、函数的三要素：

（1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；

（2）与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集．

（3）函数的对应关系：.

3、相等函数与分段函数

（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。

当时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。

单调性的图形趋势（从左往右）

上升趋势下降趋势

2、函数的单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D?定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

3、函数单调性的性质

若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）与（C为常数）具有相同的单调性.

（2）与的单调性相反.

（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.

（4）若≥0，则与具有相同的单调性.

（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；

当时，与具有相同的单调性.

（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，

若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数

若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数

若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．

知识点3函数的奇偶性

1、函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数是奇函数

关于原点对称

2、函数奇偶性的几个重要结论

（1）为奇函数?的图象关于原点对称；为偶函数?的图象关于y轴对称．

（2）如果函数是偶函数，那么．

（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

知识点4函数的周期性

1、周期函数的定义

对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．

2、最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．

知识点5函数的对称性

1、关于线对称

若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数．

2、关于点对称

若函数满足，则