第九讲 充分条件与必要条件答案.docx

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第九讲充分条件与必要条件

答案与解析

例题讲解:

题型1充分条件、必要条件的判断

【例1】已知集合,,则“”是“”的条件.

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分又不必要

【答案】

【分析】根据集合的基本关系以及充分必要条件的判断即可得解.

【解答】解:因为,

所以“”是“”的充要条件.

故选:.

【例2】已知、、,则“”是“”的

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.非充分非必要条件

【答案】

【分析】结合等式的特点检验充分及必要性即可.

【解答】解:当时,一定成立;

当时,不一定成立,例如时.

故“”是“”的充分不必要条件.

故选:.

【例3】设,,则“且”是“”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】

【分析】利用不等式的性质,充要条件的定义判定即可.

【解答】解:①当且时,则成立,充分性成立,

②当,时,满足,但不满足且,必要性不成立,

且是的充分不必要条件,

故选:.

题型2求充分条件、必要条件

【例4】若,下列选项中,使“”成立的一个必要不充分条件为

A. B. C. D.

【答案】

【分析】根据题意,等价于,若所求必要条件对应的范围为,则,由此判断即可得到本题的答案.

【解答】解:不等式等价于,

使“”成立的一个必要不充分条件,对应的集合为,则是的真子集,

由此对照各项,可知只有项符合题意.

故选:.

【例5】可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是

A. B. C. D.

【答案】

【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件,结合选项得出其必要条件.

【解答】解:由题意,△,

解得,

而可以推出,

故选:.

【例6】设x∈R,不等式|x﹣3|<2的一个充分不必要条件是()

A.1<x<5 B.x>0 C.x<4 D.2≤x≤3

【答案】D

【分析】由|x﹣3|<2可得1<x<5,再由充分不必要条件的定义、结合选项即可得答案.

【解答】解:因为|x﹣3|<2,

所以﹣2<x﹣3<2,解得1<x<5,

由充分不必要条件的定义可知,只有D选项符合.

故选:D.

题型3根据充分条件或必要条件求参数的范围

【例7】若m﹣1≤x≤m+1是不等式x2﹣x﹣6≥0成立的充分不必要条件,则实数m的取值范围为()

A.﹣3≤m≤4 B.﹣4≤m≤3 C.m≤﹣4或m≥3 D.m≤﹣3或m≥4

【答案】D

【分析】解不等式得到{x|m﹣1≤x≤m+1}?{x|x≤﹣2或x≥3},得到m﹣1≥3或m+1≤﹣2,解得答案.

【解答】解:不等式x2﹣x﹣6≥0的解集为{x|x≤﹣2或x≥3},

故{x|m﹣1≤x≤m+1}?{x|x≤﹣2或x≥3},故m﹣1≥3或m+1≤﹣2,

解得m≥4或m≤﹣3.

故选:D.

【例8】已知p:x2﹣8x+15<0,q:(x﹣2m)(x﹣5m)<0,其中m>0.若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围是{m|}.

【答案】{m|}.

【分析】解出p,q的范围,并设A={x|x∈p}、B={x|x∈q},根据q是p的必要不充分条件,得出A?B,根据集合包含关系即可得出.

【解答】解:解x2﹣8x+15<0可得3<x<5,即p:3<x<5,

因为m>0,所以5m>2m,解(x﹣2m)(x﹣5m)<0可得2m<x<5m,

即q:2m<x<5m.

设A={x|x∈p}={x|3<x<5},B={x|x∈q}={x|2m<x<5m,m>0},

因为若q是p的必要不充分条件,所以A?B,

所以有,且不能同时取等号,所以.

故答案为:{m|}.

【例9】已知集合,B={x|﹣1<x<m+2},若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,则实数m的取值范围是m>1.

【答案】m>1.

【分析】先化简集合A,由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,得A?B,再列不等式求出m的范围.

【解答】解:由题意,可得A={x|(x+1)(x﹣3)<0}={x|﹣1<x<3},

B={x|﹣1<x<m+2},

由x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,得A?B,

则3<m+2,所以m>1,

所以m的取值范围为m>1.

故答案为:m>1.

题型4充要条件的证明

【例10】求证:是是等边三角形的充要条件.(这里,,是的三边边长)

【答案】见解析.

【分析】根据充分必要条件的定义,对两个条件进行正反推理论证,即可证出所求结论.

【解答】证明:充分性,由,可得,

移项整理,得,则,可得是等边三角形,

必要性,由为等边三角形,得,所以.

综上所述,是是等边三角形的充要条件.

【例11】设,,,求证:“关于的方程有一个根是1”的充要条件为“”.

【答案】证明见解析.

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