大招27公切线及其方法(含答案解析）.docx

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大招27公切线及其方法

1．函数的切线方程

已知函数连续，且当时导函数值存在，则函数在处切线的斜率为．于是在处函数的切线方程用点斜式表示为，用斜截式表示为．

注：如果函数的图象是一条直线，那么方程表示函数自身，虽然几何意义上已经不是切线，但是可以将其看成代数意义上的“切线”．

2．公切线

如果直线既是函数的图象在处的切线，又是函数的图象在处的切线，则直线的方程既可以表示为，也可以表示为，于是就有我们常根据这两个式子来处理公切线问题．第一个式子表示两条切线斜率相等，第二个式子表示两条切线在轴上的截距相等．

特别地，如果与相等且等于，那么就会有第一个式子表示公切点处函数值相等，第二个式子表示公切点处导数值相等，这也是作为函数与的图象公共切点所应满足的条件．

【典例1】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______.

【大招指引】先设出直线与两曲线的切点坐标，分别求导，利用导数的几何意义和斜率相等得到有关的方程组即可求解.

【解析】设与和分别切于点、.

则曲线的切线方程为：.

曲线的切线方程为：.

，即，

解得，

.

【题后反思】本题也可以采用参数法进行求解：

设与和分别切于点、.

则、，即、.

，而，

故

两式相减得：，所以.

【温馨提醒】设直线与切于点与切于点

其公切线方程的等量关系.

【举一反三】

1．若直线与曲线和曲线同时相切，则（???）

A． B． C． D．

【典例2】已知，曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数的最小值为（）

A.0??????????????B.??????????????C.???????????????D.

【大招指引】求导，利用导数的几何意义、在公共点处的斜率相等得到，再利用导数研究函数的单调性进行求解.

【解析】由，，

由，.

设两曲线的公共点，因为两曲线在公共点处的切线相同，

所以，

由（3）得

或又

，代入得

设函数

则

由

当时，；当

所以

所以的最小值是．

【题后反思】本题也可以利用公共点+切线斜率相等构造关于的函数进行求解：

由，，由，.

设两曲线的公共点，因为两曲线在公共点处的切线相同，

所以，

由（3）得

由（舍去）

由

构造

当时，；

当时，

所以

所以的最小值是

【温馨提醒】当与切于同一点，

设切点为，则有，从而确定参数的取值范围；

【举一反三】

2．已知函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在这两点处的切线重合，则点的横坐标的取值范围可能是（????）

A．， B． C．， D．

【典例3】若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围是（）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】设公切线与函数，分别切于点，，则过，的切线分别为：、，两切线重合，可得，构造函数，只需，求导判断单调性，求出最小值，即可得结果．

【解析】设公切线与函数，分别切于点，，

则过，的切线分别为：、，

两切线重合，则有：代入得：，构造函数：，，．x1，，.，，，，∴x1，.

欲合题意，只须.

【题后反思】本题考查导数中的公切线存在性问题，涉及导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题：重在考查考生的消元、转化、构造函数、数形结合能力以及求解运算能力

【温馨提醒】由两曲线是否存在公切线问题求有关参数问题，其思路如下：

函数与的公切线．若切点是同一点，这按照①的解题方法．若切点不同，先假设上的切点，得到切线方程；

上的切点，得到切线方程，因为切线是同一条直线，故得到两个等式、.

【举一反三】

3．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为（????）

A． B． C．， D．

【典例4】已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（）

A.有条???????B.有条?????????C.有条?????????D.有条

【大招指引】求导，利用导数的几何意义得到切线的方程为，假设与曲线相切,设切点为，利用斜率相等得到，进而转化为的零点个数问题.

【解析】函数的导数为，

易知,曲线在处的切线的斜率为,切点为(0,?1)，可得切线的方程为，假设与曲线相切,设切点为，

即有，消去得,设，则令，则，所以在(?∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，当，，，，所以在(0,+∞)有唯一解,则，而时,与矛盾，不存在．故选：A.

【题后反思】本题也可以利用特值法进行求解：

取，，而，故不存在切线．

【温馨提醒】与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点．凹凸性相同的两曲线，在两个曲线时，两个函数均为凹函数，且时均在递增区间，如图1，若与无