大招26整数解问题(含答案解析）.docx

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大招26整数解问题

导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化，可延用一般策略，但更常用半分离方法解决．通常情况下可利用半分离方法将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式（组）求出参数的取值范围．

整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围．

【典例1】设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是（）

A．????????B．????????C．????????????D．

【大招指引】先根据函数解析式可得，求出后就，分别讨论．前者可得为上的增函数，结合，可判断出从而得到的取值范围；后者可得到与题设矛盾的结果两者结合可得实数的取值范围．

【解析】因为，故．

因为，，故．

又，

若，则，故恒成立且不恒为零，

所以恒成立且不恒为零，故在上为增函数．

因为存在唯一的正整数使得，故解得．

若，则，，

与题设矛盾，故舍去．故选D．

【题后反思】解决本题的关键在于利用、函数的单调性、存在唯一的正整数使得，得到.

【温馨提醒】在处理存在整数解问题时，对于容易求导判定函数的单调性以及确定分界点的函数，可以直接求导，不用考虑分离参数.

【举一反三】

1．已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是

A． B． C． D．

【典例2】已知函数有两个零点a，b，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（）

A．????????B．????????????C．????????????D．

【大招指引】本题可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又当时，；当时，，作出函数的大致图象，利用数形结合思想即可求解．

【解析】由题意，得．

设，求导得．

令，解得．

当时，，单调递增；

当时，，单调递减．

故当时，函数取得极大值，且．

又当时，；当时，，且．

作出函数的大致图象，如图所示．

又，

因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，

由图可知，即．故选B．

【题后反思】函数的零点实质是相应方程的根，分离参数构造函数是解决该题的关键.

【温馨提醒】在处理函数的零点个数时，可以转化为两个常见基本初等函数的图象的公共点个数，进而利用数形结合思想进行求解，即在同一坐标系中画出它们的图象，结合图象可得所求的参数的取值范围.

【举一反三】

2．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【典例3】已知函数，其中，若有且只有一个整数，使得0，则a的取值范围是（）

A．????????????B．????????????C．????????????D．

【大招指引】本题由有且只有一个整数解，令，，在同一坐标系中分别作出其图象，数形结合可得结果．

【解析】已知函数，

则有且只有一个整数解．

令，则．

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以当时，取得最小值．

设，则恒过点．在同一坐标系中分别作出和的大致图像如图所示，因为，所以，所以．

依题意得，即，解得，又，所以．

故选C．

【题后反思】解决本题的关键在于半分离常数，得到，进而转化为两个基本函数图象的位置问题.

【温馨提醒】遇到较为复杂的函数不等式的整数解问题时，可根据不等式的结构特点转化为两个函数图象的位置关系问题（其中一个函数的图象为动直线），图象刻画时注意利用导数研究其性质.

【举一反三】

3．在关于的不等式(其中为自然对数的底数)的解集中，有且仅有一个大于2的整数，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（???）

A． B． C． D．

5．已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

6．若不等式在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是（????）．

A． B． C． D．

7．已知关于的不等式有且仅有两个正整数解（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

8．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

9．已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

10．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则非正实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

11．已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实