大招25双参数问题(含答案解析）.docx

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大招25??双参数最值问题

含参问题一直是高考中的重点与难点.高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的双参数的范围或最值问题.处理此类问题，常用有以下方法：

1．消元法

对参数进行放缩，从而实现消元，化为一元函数处理（常用此法处理乘积型）．

2．零点比大小法

零点比大小是指将函数与函数的零点比较大小，进而解决问题．从图象上看，是观察直线与曲线的横截距的大小关系．此方法要求函数具有凹凸性，可以解决形如“已知（或）恒成立，求的最值”的问题，一般有如下两种形式：

①若恒成立，为上凸函数，如图1，则；

②若恒成立，为下凸函数，如图2，则．

由①或②得出，的大小，进而可以求得的最值．

3．赋值法

对比不等式与目标式的结构，发现当自变量取某个值时恰好构造出目标式．赋值法是零点比大小法的优化和改进，能快速解决线性表达式型、比值型的客观题．注意领会“等比例赋值法”，进行恰到好处的赋值．

【典例1】若恒成立，求的最小值为.

【大招指引】作差构造函数，求导，利用的单调性得到故存在唯一使得，即.即达到消元的目的；再构造函数，利用导数研究其最值即可.

【解析】设，

则，

令得单调递增，故存在唯一使得，

即当时，单调递减；

当时，单调递增，

故.

所以，即，

，

当单调递减;当单调递增，

故.所以的最小值为.

【题后反思】本题也可以利用赋值法进行求解：

令(等比例赋值法)，解得x=1(舍)，则.

当时，由知x=1是的极值点，

所以，解得.下面证明：当时，.

证明：令.

则，

当x1时，递增;当时，递减.

所以，即恒成立.

综上可知，的最小值为.

【温馨提醒】求线性表达式型为常数)的最值时，赋值的要点在于把原不等式变成关于的二元一次不等式，然后根据的系数比与相等求出(简称等比例赋值法).

【举一反三】

1．已知函数，当时，恒成立，则．

【典例2】已知函数，若不等式对恒成立，则的最小值为.

【大招指引】观察不等式与目标式的结构，进行恰到好处的赋值.只需让，便得，进而可求得的最值.解方程，可得，

【解析】，

令，则．

故的最小值为．

【题后反思】本题也可以零点比较大小进行求解：

即

函数与的零点分别为

由图可知：，故的最小值为.

【温馨提醒】赋值法是零点比大小法的优化和改进，能快速解决线性表达式型、比值型的客观题．注意领会“等比例赋值法”，进行恰到好处的赋值．

【举一反三】

2．设函数，若不等式对任意恒成立，则的最大值为．

【典例3】已知函数满足；

（1）求的解析式及单调区间；

（2）若，求的最大值.

【大招指引】（1）求导，利用赋值法得到和，进而确定函数的解析式，再利用导数确定红色的单调性；（2）将问题等价转化为原命题等价于：，进而设，，对于直线：，总存在的切线满足：，且在的上方，再利用零点比较大小进行求解.

【解析】（1）

令得：

得：

在上单调递增

得：的解析式为

且单调递增区间为，单调递减区间为

（2）??由题意可知，原命题等价于：，

设，，对于直线：，

总存在的切线满足：，且在的上方，

设切点为，则的方程为，

所以：，可得，

设，只要小于等于的最小值即可，

求导易得最小值为，故的最大值为.

【题后反思】本题也可以消元法进行求解：

得

①当时，在上单调递增

时，与矛盾

②当时，

得：当时，

令；则

当时，

当时，的最大值为.

【温馨提醒】零点比较大小法实质是通过切线放缩法合理寻找零点，这是解决此类问题的关键.

【举一反三】

3．已知函数，当实数时，对于都有恒成立，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

4．已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，若不等式在上恒成立，则的最小值是（???）

A． B． C． D．

6．已知函数，若时，恒有，则的最大值为

A． B． C． D．

7．若函数在区间上单调递增，则的最小值为.

8．已知对恒成立，则的最小值为．

9．设函数，若恒成立，则的最大值为.

10．在平面直角坐标系中，直线是曲线的切线，则当＞0时，实数的最小值是．

11．已知是函数的切线，则的最小值为．

12．已知，函