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2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷江苏卷
数学
一、填空题
1.已知集合,则_____________.
2.已知是虚数单位,则复数的实部是______________.
3.已知一组数据的平均数为4,则的值是___________.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是_______.
5.右图是一个算法流程图,若输出值为,则输入的值是__________.
6.在平面直角坐标系中,若双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率是____________.
7.已知是奇函数,当时,,则的值是_____________.
8.已知,则的值是.
9.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为,高为,内孔半径为,则此六角螺帽毛坯的体积是.
10.将函数的图像向右平移个单位长度,则平移后的图像与轴最近的对称轴方程是.
11.设是公差为的等差数列,是公比为的等比数列,已知数列的前项和,则的值是.
12.已知,则的最小值是.
13.在中,,,,在边上,延长,使得,若(为常数),则的长度是.
14.在平面直角坐标系中,已知,,是圆上的两个动点,满足,则的面积的最大值是.
二、解答题
15.在三棱柱平面分别是的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面.
16.在中,角的对边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)在边上取一点,使得,求的值.
17.某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底在水平线上,桥与平行,为铅垂线(在上).经测量,左侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式;右侧曲线上任一点到的距离(米)与到的距离(米)之间满足关系式.已知点到的距离为40米.
(1)求桥的长度;
(2)计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和,且为80米,其中在上(不包括端点).桥墩每米造价(万元).桥墩每米造价(万元),问为多少米时,桥墩与的总造价最低?
18.在平面直角坐标系中,若椭圆的左、右焦点分别为,,点在椭圆上且在第一象限内,,直线与椭圆相交于另一点.
(1)求的周长;
(2)在轴上任取一点,直线与椭圆的右准线相交于点,求的最小值;
(3)设点在椭圆上,记与的面积分别是,,若,求的坐标.
19.已知关于的函数与在区间上恒有.
(1)若.求的表达式;
(2)若.求的取值范围;
(3)若,,,求证:.
20.已知数列的首项,前项和为,设与是常数.若对一切正整数,均有成立,则称此为数列.
(1)若等差数列是数列,求的值;
(2)若数列是数列,且,求数列的通项公式;
(3)对于给定的,是否存在三个不同的数列为数列,且?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
21.选做题.
1.平面上点在矩阵对应的变换作用下得到点.
(1)求实数的值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
2.在极坐标系中,已知点在直线上,点在圆上(其中).
(1)求的值;
(2)求出直线与圆的公共点的极坐标.
3.设,解不等式.
22.在三棱锥中,已知为的中点,平面,为的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)若点在上,满足,设二面角的大小为,求的值.
23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为,恰有2个黑球的概率为,恰有1个黑球的概率为.
(1)求和;
(2)求与的递推关系式和的数学期望(用表示).
参考答案
1.答案:
解析:由交集的定义可得.
2.答案:3
解析:复数,实部是3.
3.答案:2
解析:由平均数公式可得,解得.
4.答案:
解析:将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,向上的点数共有36种情况,其中点数和为5的情况有,共4种,则所求概率为.
5.答案:
解析:由流程图可得则当时,可得或得.
6.答案:
解析:由双曲线的一条渐近线方程为得,则该双曲线的离心率.
7.答案:
解析:由题意可得.
8.答案:
解析:因为,所以,,得.
9.答案:
解析:正六棱柱的体积为,圆柱的体积为,则该六角螺帽毛坯的体积为.
10.答案:
解析:将函数的图象向右平移个单位长度,得到的图象,由,得对称轴方程为,其中与轴最近的对称轴的方程为.
11.答案:4
解析:通解当时,①,当时,,则②,③,④,②-①得⑤,③-②得⑥,④-③得⑦,⑥-⑤得,⑦-⑥得,则,,,所以.
优解由题意可得,
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