人教版高三数学知识必备11 等差数列与等比数列2025年高考一轮复习.docxVIP

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专题11等差数列与等比数列

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

知识点1数列的有关概念

1、数列的定义及表示

（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

（2）数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．

2、数列的分类

分类标准

类型

满足条件

按项数

分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

其中n∈N*

递减数列

常数列

按其他标准分类

有界数列

存在正数M，使

摆动数列

从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

周期数列

对n∈N*，存在正整数常数k，使

3、数列的通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

4、数列的递推公式：如果已知数列的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．

知识点2等差数列

1、等差数列的定义

（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；

（2）符号语言：(，为常数)．

2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．

3、通项公式与前n项和公式

（1）通项公式：．

（2）前项和公式：．

（3）等差数列与函数的关系

=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．

=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.

知识点3等差数列的性质

已知数列是等差数列，是其前项和．

1、等差数列通项公式的性质：

（1）通项公式的推广：．

（2）若，则．

（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．

（4）若是等差数列，则也是等差数列．

2、等差数列前项和的性质

（1）；

（2）；

（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.

（4）数列，，，…构成等差数列．

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

（1）若项数为，则，；

（2）若项数为，则，，，.

知识点4等比数列

1、等比数列的定义

（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。

（2）数学语言表达式：(，为非零常数)．

2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.

注意：同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前n项和公式

（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；

通项公式的推广：.

（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.

知识点5等比数列的性质

已知是等比数列，是数列的前项和．

1、等比数列的基本性质

（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.

（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．

（3）若，则有

口诀：下标和相等，项的积也相等

推广：

（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。

（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。

2、等比数列前项和的性质

（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；

（2）对，有；

（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；

（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）

重难点01等差数列前n项和最值求法

1、二次函数法：将Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．

2、邻项变号法：当a10，d0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a10，d0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．

特别地，若a10，d0，