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专题09.勾股定理中的的最短路径模型
勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间,线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活
实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两
大类:第一类为在同一平面内;第二类为空间几何体中的最短路线问题,对于平面内的最短路线问题可先
画出方案图,然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解,
然后构造直角三角形,利用勾股定理求解。
模型1.圆柱中的最短路径模型
【模型解读】圆柱体中最短路径基本模型如下:
计算跟圆柱有关的最短路径问题时,要注意圆柱的侧面展开图为矩形,利用两点之间线段最短结合勾股定
理进行求解,注意展开后两个端点的位置,有时候需要用底面圆的周长进行计算,有时候需要用底面圆周
长的一半进行计算。
注意:1)运用勾股定理计算最短路径时,按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算;
2)缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
【最值原理】两点之间线段最短。
12023··24cm18cm
例.(陕西八年级期中)如图,有一个圆柱形杯子,其底面圆周长为,高为,现在
AB
AAB
要以点为起点环绕杯子表面缠彩色胶带,终点正好落在点的正上方的点处,则彩色胶带最短要()
A.15cmB.20cmC.25cmD.30cm
【答案】D
【分析】把圆柱沿侧面展开,连接,再根据勾股定理即可得出结论.
ABAB
24cm18cm
【详解】解:如图,圆柱形杯子的底面周长为,高为,
2230cmD
展开图中AB241830,则彩色胶带最短要.故选:.
——
【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题,根据题意画出图形,利用勾股定理求解是解答此题关键.
22023··24cm9cm
例.(广东八年级期中)如图,一个底面圆周长为,高为的圆柱体,一只蚂蚁从距离上
边缘4cm的点沿侧面爬行到相对的底面上的点所经过的最短路线长为()
AB
AB15cmC14cmD13cm
.413cm...
【答案】D
【分析】将圆柱体展开,利用勾股定理进行求解即可.
【详解】解:将圆柱体的侧面展开,连接,如图所示:由于圆柱体的底面周长为24cm,
AB
1
BD2412cmAD945cm22cm
则,又因为,所以AB12513(),
2
13cmD
即蚂蚁沿表面从点到点所经过的最短路线长为.故选:.
AB
—
【点睛】本题考查勾股定理的应用最短路径问题.解题的关键是将立体图形展开为平
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