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高中数学精编资源
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专题12数列通项与数列求和的综合应用
(思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧)
知识点1数列的递推公式
1、递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
2、通项公式和递推公式的异同点
不同点
相同点
通项公式
可根据某项的序号n的值,直接代入求出an
都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项
递推公式
可根据第一项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的an,也可通过变形转化,直接求出an
知识点2数列通项公式的求法
1、观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项.
2、公式法
(1)使用范围:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式构造两式作差求解.
(2)用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即和合为一个表达,(要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一).
3、累加法:适用于an+1=an+f(n),可变形为an+1-an=f(n)
要点:利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2,n∈N*)求解
4、累乘法:适用于an+1=f(n)an,可变形为eq\f(an+1,an)=f(n)
要点:利用恒等式an=a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an-1)(an≠0,n≥2,n∈N*)求解
5、构造法:对于不满足an+1=an+f(n),an+1=f(n)an形式的递推关系,常采用构造法
要点:对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解
类型一:形如(其中均为常数且)型的递推式:
(1)若时,数列{}为等差数列;
(2)若时,数列{}为等比数列;
(3)若且时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:
法一:设,展开移项整理得,与题设比较系数(待定系数法)得,即构成以为首项,以为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:由得两式相减并整理得即构成以为首项,以为公比的等比数列.求出的通项再转化为累加法便可求出
类型二:形如型的递推式:
(1)当为一次函数类型(即等差数列)时:
法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:当的公差为时,由递推式得:,两式相减得:,令得:转化为类型Ⅴ㈠求出,再用累加法便可求出
(2)当为指数函数类型(即等比数列)时:
法一:设,通过待定系数法确定的值,转化成以为首项,以为公比的等比数列,再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二:当的公比为时,由递推式得:—①,,两边同时乘以得—②,由①②两式相减得,即,构造等比数列。
法三:递推公式为(其中p,q均为常数)或(其中p,q,r均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以,得:,引入辅助数列(其中),得:,再结合第一种类型。
6、取倒数法:an+1=eq\f(pan,qan+r)(p,q,r是常数),可变形为eq\f(1,an+1)=eq\f(r,p)·eq\f(1,an)+eq\f(q,p)
要点:①若p=r,则eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列,且公差为eq\f(q,p),可用公式求通项;
②若p≠r,则转化为an+1=san+t型,再利用待定系数法构造新数列求解
7、三项递推构造:适用于形如型的递推式
用待定系数法,化为特殊数列的形式求解.方法为:设,比较系数得,可解得,于是是公比为的等比数列,这样就化归为型.
8、不动点法
(1)定义:方程的根称为函数的不动点.
利用函数的不动点,可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种求数列通项的方法称为不动点法.
(2)在数列中,已知,且时,(是常数),
=1\*GB3①当时,数列为等差数列;
=2\*GB3②当时,数列为常数
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