专题15 “一线三等角”模型及其变形的应用（原卷版）.pdf

专题15“一线三等角”模型及其变形的应用

模型归纳

如图一，∠D∠BCA∠E90°，BCAC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA

图1

应用：

1

（）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

2

（）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”

作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线

作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示

【典例分析】

【应用1“全等型”三垂直基本应用】

【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，

BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，

求证：△ADC≌△CEB；

①

②DE＝AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出

证明；若不成立，说明理由．

【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，

则BD等于（）

A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm

【变式1-2】（2020秋•东川区期中）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．

（1）AC与CE有什么位置关系？

（2）请证明你的结论．

【典例2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F

分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．

（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，

①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，

“＜”，“＝”）；

②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立

吗？并说明理由；

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、

AF的数量关系（不需要证明）．

【应用2平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】

【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A

在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）

A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）

【变式3-1】如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐

标是（）

A．（﹣2，0）B．（﹣2，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）

【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，

5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．

（1）如图1，求点B的坐标；

（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，

连接DN，求证CD+DN＝AM；

（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在

第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连

接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，

请说明理由，若不变化，请求出其长度．

【夯实基础】

1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB

＝4，则BD的长为．

2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在

边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．

3.李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙

之间刚好可以放进一个正方形AB