专题1.8 角度计算中的经典模型【八大题型】（浙教版）（解析版）.pdf

专题1.8角度计算中的经典模型【八大题型】

【浙教版】

【题型1双垂直模型】1

【题型2A字模型】7

【题型38字模型】10

【题型4飞镖模型】16

【题型5风筝模型】23

【题型6两内角角平分线模型】29

【题型7两外角角平分线模型】35

【题型8内外角角平分线模型】40

【知识点1双垂直模型】

【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.

【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.

【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE

同理,∠ACB+∠DCE=90°，且∠CED+∠DCE=90°；∴∠ACB=∠CED，得证.

【题型1双垂直模型】

【例1】（2022春•建邺区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠

B．

（1）求证：CD⊥AB

证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）

∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）

又∵∠ACD＝∠B（已知）

∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）

∴∠ADC＝90°（三角形内角和定理）

∴CD⊥AB．

（2）如图②，若∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F，求证：∠AEC＝∠CFE；

（3）如图③，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．

①求S△CEF﹣S△ADF的值；

②四边形BDFE的面积是21．

【分析】（1）根据直角三角形的性质、三角形内角和定理解答即可；

（2）根据角平分线的定义得到∠CAE＝∠BAE，根据三角形的外角性质计算，证明结论；

（3）①根据三角形的面积公式分别求出S△ACD、S△ACE，结合图形计算即可；

②连接BF，设S△ADF＝x，根据三角形的面积公式列出方程，求出x，把x代入计算得到答案．

【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）

∴∠A+∠B＝90°（直角三角形两锐角互余）

又∵∠ACD＝∠B（已知）

∴∠A+∠ACD＝90°（等量代换）

∴∠ADC＝90°（三角形内角和定理），∴CD⊥AB．

故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE＝∠BAE，

∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，

∴∠AEC＝∠CFE；

（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，

11

∴S△ACD=S△ABC＝9，S△ACE=S△ABC＝12，

43

∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；

②连接BF，

设S△ADF＝x，则S△CFE＝3+x，

∵AB＝4AD，

∴S△BDF＝3x，

∵BC＝3CE，

∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，

3

∴x+3+2x+6+3x=×36，

4

解得，x＝3，

∴四边形BDFE的面积＝3x+2x+6＝21，

故答案为：21．

【变式1-1】（2022春•润州区期末）已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE平分∠BAC，

分别交BC、BD于点E、F．求证：∠BFE＝∠BEF．

【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠CAE，再根据等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根

据对顶角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代换即可得解．

【解答】证明：∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

∵