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第九讲判别式及其应用

一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二

次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数

学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．

1．判定方程根的情况

22

例1已知方程x-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x+2mx+m(m+1)=0有无实数根．

x

例2已知常数a为实数，讨论关于x的方程(a-2)2+(-2a+1)x+a=0

的实数根的个数情况．

2．确定方程中系数的值或范围

例3关于x的一元二次方程有实根，其中a是实数，求a99+x99

的值．

222

例4若方程x+2(1+a)x+3a+4ab+4b+2=0有实根，求a，b的值．

2

例5△ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x-12x+m=0的两个根，求m的取值范围．

3．求某些方程或方程组的解

22

例6求方程5x+5y+8xy+2y-2x+2=0的实数解．

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例7解方程组

4．证明不等式，求最大值和最小值

用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元

二次方程的系数中去．

例10实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式

22

-t+2t≤ab+bc+ca≤9t-18t+10，

练习九

1．选择：

2

(1)某一元二次方程根的判别式△=2m-6m+5，此方程根的情况是[]

(A)有两个不相等的实根

(B)有两个相等的实根

(C)没有实根

(D)由实数m的值而定

2

(2)关于x的方程2kx+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[]

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(3)如果关于x的方程mx-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x-2(m+2)x+m=0的

实根个数为[]

(A)2个