1高中数学新教材课堂导学案（平面向量与空间向量的基本运算）及答案.doc

课堂导学（平面向量与空间向量的基本运算）

【知识点】

1.向量的加法、减法

空间向量的运算

加法

eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b

减法

eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b

加法运算律

①交换律：a＋b＝b＋a

②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

2.空间向量的数乘运算：

（1）定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

当λ0时，λa与向量a方向相同；

当λ0时，λa与向量a方向相反；

当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

（2）运算律

结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.

分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.

3.空间向量的数量积：

（1）定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

（2）常用结论(a，b为非零向量)

①a⊥b?a·b＝0.

②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.

③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).

（3）数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律

(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)

交换律

a·b＝b·a

分配律

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

4.数量积的应用：

（1）求模长：.

（2）求夹角：cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).

【典例】

例1.如右图，在矩形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1.

则（1）；

（2）；

（3）；

（4）；（作图）

（5）0；

（6）.

例2．在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点,,,.

（1）求,的值；

（2）求，；

（3）求与的夹角的余弦值.

解：（1）

（2）

例3.如图，四面体OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，

（1）若，求的值；

（2）若四面体OABC是棱长为1的正四面体，求；

（3）在（2）的条件下问与、、之间的三个夹角，最大是哪一个？并说明原因.

解：（1）

∴

（2）

且，

∴

（3）

∵，,

同理

小于

∴与、、之间的三个夹角中最大是与的夹角.