2高中数学新教材课堂导学案（空间向量的应用之夹角）及答案.doc

课堂导学（空间向量的应用之求夹角）

【知识点】

一、夹角：

1.线线夹角：两直线平移后相交后所成的锐角或900角.

2.线面夹角：

直线与平面所成角，如图

（1）任取在上；

（2）作平面于；

（3）连接斜足与垂足，称为斜线在平面内的正投影；

3.二面角及两面所成角

二面角：，如图

（1）任取在上；

（2）在平面内作；

（3）在平面内作；

则即为二面角的大小.

二、空间向量坐标法求夹角：

空间两向量，的夹角公式：

（其中，可以是直线的方向向量或平面的法向量）

1.两直线与夹角为：；

2.直线与平面的夹角为：（是平面的法向量）；

3.二面角的平面角为：

【例题】

1．如图，正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于(B)

A．30°B．60°

C．150°D．以上均错

例3．（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（???????）．

A．（1，，4） B．（，1，）

C．（2，，1） D．（1，2，）

【答案】B

4．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()

A．30° B．45°C．60° D．90°

9.A解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)，\f(a,2))).

则eq\o(CA,\s\up8(→))＝(2a，0，0)，eq\o(AP,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,2)，\f(a,2)))，eq\o(CB,\s\up8(→))＝(a，a，0)，

设平面PAC的一个法向量为n，设n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AP,\s\up8(→))＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝z，))

可取n＝(0，1，1)，则cos〈eq\o(CB,\s\up8(→))，n〉＝eq\f(\o(CB,\s\up8(→))·n,|\o(CB,\s\up8(→))|·|n|)＝eq\f(a,\r(2a2)·\r(2))＝eq\f(1,2)，

5.（2022新高考Ⅰ卷T9，多选题）已知正方体，则（）

A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为

C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，

因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；

连接，因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

又平面，所以，故B正确；

连接，设，连接，

因为平面，平面，则，

因为，，所以平面，

所以为直线与平面所成的角，

设正方体棱长为，则，，，

所以，直线与平面所成的角为，故C错误；

因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.

故选：ABD

二、填空题

6．已知平面，写出平面的一个法向量______．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】

设出法向量，利用数量积为0列出方程组，求出一个法向量即可.

【详解】

设法向量为，

则有，

令得：，所以

故答案为：

7.如图，在四棱锥中，平面，四边形是平行四边形，，且.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.