3高中数学新教材课堂导学案（空间向量的应用之距离）及答案.doc

课堂导学（空间向量的应用之求距离）

【知识点】

几种主要的距离

1.点到点的距离，即

2.点到直线的距离：（略）

3.点到平面的距离：（略）

（1）直接法：过.点作平面的垂线，垂足为，则垂线段的长即为所求；

（2）间接法：

①等积法：

②向量法：设平面的一个法向量为，为平面上任意一点，则到平面的距离为，即在法向量上投影的绝对值。

注意转化：如两平行平面的距离可转化为线到面的距离，线到面的距离又转化为点到面的距离，如下图：

【典型题】

1．（2022·北京市海淀区教师进修学校高一阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（???????）

A．直线与为异面直线

B．平面

C．三棱锥的表面积为

D．三棱锥的体积为

【答案】D

【解析】

【分析】

根据异面直线的定义即可判断A，根据线线平行证明线面平行即可判断B,根据每个三角形的面积可得三棱锥的表面积，可判断C，根据体积公式可判断D.

【详解】

因为平面,平面,平面,,所以直线与为异面直线,故A对.平面，平面，平面，故B对.

,,所以三棱锥的表面积为，故C对.

,故D错.

故选:D

2．（2022·山东·济南市教育教学研究院高一阶段练习）正三棱柱的底面边长为4，侧棱长为3，D，E分别为，上靠近A，B的三等分点，则三棱锥的体积为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

取的中点，连接，则，从而得到平面，根据计算可得；

【详解】

解：如图取的中点，连接，则，

在正三棱柱，平面，平面，

所以，，平面，所以平面，

又，

所以

故选：B

3．（多选题）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（???????）

A．点A到平面A1BC的距离为 B．平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P

C．三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D．二面角A1-BC-A的大小为

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

A选项，四边形是正方形，所以，所以，

但与不垂直，所以与平面不垂直，所以到平面的距离不是，A选项错误.

B选项，根据三棱柱的性质可知，平面平面，所以平面，

设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知，B选项正确.

C选项，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确.

D选项，设是的中点，由于，所以，所以二面角的平面角为，由于，所以，D选项错误.

故选：BC

二、填空题

4.如下图（左），在长方体中，，，则四棱锥的体积为6cm3．

5.(2012山东)如下图，在棱长为1的正方体中，、分别为线段、上的点，则三棱锥的体积等于.

6．（2022·湖南·高一课时练习）长方体的棱，，．

(1)求点B和点之间的距离；

(2)求直线CD和平面的距离；

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)13

(3)

【解析】

【分析】

（1）为长方体的对角线长度，即可求解.

（2）由平面，又平面，则为直线CD和平面的距离，即可求解.

（3）先平面平面，再过作交于点,则为点到平面的距离，从而可求解.

(1)

连结,则为长方体的对角线长度

则

(2)

在长方体中，,

平面，所以平面

由平面

所以直线CD和平面的距离为

(3)

在长方体中，平面

平面，所以平面平面

平面平面

过作交于点,则平面

所以为点到平面的距离.

由,则

7.如图正方体中,P是线段AB上的点，AP=1,PB=3

（1）求异面直线与BD的夹角的余弦值；

（2）求二面角的大小；

（3）求点B到平面的距离